조건부 확률 활용 문제 예제 3가지

조건부 확률은 특정 조건이 주어졌을 때 사건이 일어날 확률을 계산하는 데 사용됩니다. 이는 의사 결정, 데이터 분석, 게임 이론 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 이번 글에서는 조건부 확률을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 동전 던지기

문제: 두 개의 동전을 던질 때, 적어도 한 개가 앞면일 경우 두 동전이 모두 앞면일 확률을 구하세요.

풀이:

1. 전체 표본 공간은 다음과 같습니다:

$$ S = \{HH, HT, TH, TT\}, $$

여기서 $H$는 앞면, $T$는 뒷면입니다. 따라서 $|S| = 4$입니다.

2. 적어도 한 개가 앞면인 경우를 $A$, 두 동전이 모두 앞면인 경우를 $B$라고 하면:

• $A = \{HH, HT, TH\}$, $|A| = 3$
• $B = \{HH\}$, $|B| = 1$

3. 조건부 확률 공식 $P(B|A)$를 사용합니다:

$$ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}. $$

4. $P(A \cap B)$는 $B$가 $A$의 부분집합이므로 $P(A \cap B) = P(B)$입니다. 따라서:

$$ P(B) = \frac{|B|}{|S|} = \frac{1}{4}, \quad P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{3}{4}. $$

5. 조건부 확률은:

$$ P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}. $$

따라서 적어도 한 개가 앞면일 경우 두 동전이 모두 앞면일 확률은 $\frac{1}{3}$입니다.

예제 2: 카드 뽑기

문제: 52장의 카드 중에서 한 장을 뽑을 때, 카드가 빨간색이라는 조건하에서 에이스일 확률을 구하세요.

풀이:

1. 전체 표본 공간 $S$는 $52$장의 카드입니다.

2. 빨간색 카드($A$)는 다이아몬드와 하트의 26장입니다. 따라서 $P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.

3. 빨간색 에이스($A \cap B$)는 다이아몬드 에이스와 하트 에이스, 총 2장입니다. 따라서:

$$ P(A \cap B) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}. $$

4. 조건부 확률 $P(B|A)$는:

$$ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{26}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}. $$

따라서 카드가 빨간색이라는 조건하에서 에이스일 확률은 $\frac{1}{13}$입니다.

예제 3: 질병 진단

문제: 어떤 질병에 대해 검사 결과가 양성일 확률은 $5\%$, 실제로 질병에 걸린 사람 중 양성일 확률(민감도)은 $90\%$, 질병이 없는 사람 중 양성일 확률(오탐율)은 $2\%$입니다. 검사 결과가 양성일 때 실제로 질병에 걸렸을 확률을 구하세요.

풀이:

1. 사건 정의:

• $D$: 질병이 있음 ($P(D) = 0.05$)
• $D^c$: 질병이 없음 ($P(D^c) = 0.95$)
• $T$: 검사 결과가 양성

2. 조건부 확률 $P(T|D)$와 $P(T|D^c)$:

• $P(T|D) = 0.9$
• $P(T|D^c) = 0.02$

3. 베이즈 정리를 사용하여 $P(D|T)$를 계산합니다:

$$ P(D|T) = \frac{P(T|D)P(D)}{P(T|D)P(D) + P(T|D^c)P(D^c)}. $$

4. 값을 대입하여 계산합니다:

$$ P(D|T) = \frac{(0.9)(0.05)}{(0.9)(0.05) + (0.02)(0.95)} = \frac{0.045}{0.045 + 0.019} = \frac{0.045}{0.064} \approx 0.703. $$

따라서 검사 결과가 양성일 때 실제로 질병에 걸렸을 확률은 약 $70.3\%$입니다.

결론

조건부 확률은 동전 던지기, 카드 뽑기, 질병 진단 등 다양한 상황에서 중요한 역할을 합니다. 위의 예제를 통해 조건부 확률을 계산하는 방법과 그 의미를 명확히 이해할 수 있습니다.

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