가우스 함수의 성질 알아보기

가우스 함수의 성질

임의의 실수 $x, y$에 대하여

 

1. $[x] \leq x < [x] +1$ 이다.

 

2. $m$이 정수이면, $[x+m] = [x] +m$ 이다.

 

3. $[x] + [y] \leq [x+y] \leq [x] + [y] +1$ 이다.

 

4. $[x] + [-x] = 0 (x \in Z)$

                              $= -1 ( x \not\in Z )$

 

5. $m$이 양의 정수이면, $[\frac{[x]}{m}] = [\frac{x}{m}]$ 이다.

 

6. $- [-x]$는 $x$보다 작지 않은 최소의 정수이다.

 

7. 양의 정수 $m , n$에 대하여 $[\frac{n}{m}]$ 은 1에서 $n$까지의 $m$의 배수의 개수이다.

 

증명방법

$\alpha = x - [x]$, $\beta = y- [y]$로 두면 $0 \leq \alpha < 1$이고 $0 \leq \beta <1$ 이다. 또한 $l = [x], k = [y]$라 하자.

 

1. $x = [x] + \alpha$ 이고 $0 \leq \alpha < 1$ 이므로 $[x] \leq x < [x] + 1$ 이다.

 

2. $m$이 정수이면 $x+m = l+m+a$이므로 $[x+m] = l + m = [x] + m$이다.

 

3. $x+y = l+k+ \alpha + \beta$이고 $0 \leq \alpha + \beta <2$이므로

   $[x+y] = l+k = [x] + [y]$ 또는 $[x+y] =l + k + 1 = [x] + [y] + 1$ 이다.

   따라서 $[x] + [y] \leq [x+y] \leq [x] + [y] + 1$ 이다.

 

4. $-x=-l-\alpha$에서 $\alpha=0$ 이면 $[-x]=-l$ 이고, $a \neq =0$이면 $[-x]=-l-1$ 이므로 자명

 

5. $l$을 $m$으로 나눈 몫을 $q$, 나머지를 $r$이라 하면, $l=qm+r$이고, $0 \leq r < m$ 이다.

좌변은 $[\frac{[x]}{m}] = [\frac{l}{m}] = [q+\frac{r}{m}] = q+[\frac{r}{m}]=q$

또한, $0 \leq r+ \alpha < m$이므로 우변 역시

$[\frac{x}{m}]=[\frac{l+\alpha}{m}] = [q+\frac{r + \alpha}{m}] = q+[\frac{r+\alpha}{m}]=q$ 이다. 따라서

$[\frac{[x]}{m}] = [\frac{x}{m}]$ 이다.

 

6. 1.에 의해 $-x-1<[-x] \leq -x$ 이다. 즉, $x \leq -[-x] <x+1$ 이므로 $-[- x]$는 $x$보다 작지 않은 최소의 정수이다.

 

7. $qm \leq n < (q+1)m$을 만족시키는 양의 정수 $q$가 존재한다. 1과 $n$사이의 $m$의 배수는 $m, 2m, \cdots , qm$ 뿐이고, 그 개수는 $q$이다. 또한 $q \leq \frac{n}{m} < q+1$이므로 $[\frac{n}{m}] = q$ 이다. 따라서 $[\frac{n}{m}]$

은 1과 $n$ 사이의 $m$의 배수의 개수이다.