다각형의 내각의 합, 외각의 합 알아보기

1. n각형의 내각은 크기의 합은 $180^{\circ} \times (n-2)$이다.

다각형 내각의 합 구하기1

설명1) 다각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 삼각형으로 나눌 수 있다. 따라서 다각형 내각의 합은 삼각형의 내각 크기의 합을 모두 더한 것과 같다. $n$각형에서 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 이어져 있는 자기 자신과 이어져있는 두개의 꼭짓점을 제외하면 $n-3$ 이므로 대각선에 의해 $n-2$개의 삼각형으로 나누어진다. 따라서 $n$각형의 내각의 크기의 합이 $180^{\circ} \times (n-2)$이다.

다각형 내각의 합 구하기2

설명2) $n$각형 내부에 한 점을 잡는다. 이때 내부의 점과 꼭짓점을 모두 이으면 $n$개의 삼각형이 만들어 진다. ($n$각형 내각 크기의 합) = ($n$개의 삼각형의 내각의 크기의 합) - (내부의 점 중심각 $360^{\circ}$) 이므로

$180^{\circ} \times n - 360^{\circ} = 180^{\circ} \times (n-2)$이다.

 

2. 볼록$n$각형의 외각의 크기의 합이 $360^{\circ}$이다.

 

볼록 $n$각형에서 (내각의 크기의 합) + (외각의 크기의 합) = $180^{\circ} \times n$이다. $n$각형의 내각의 크기의 합이 $180^{\circ}$이므로 (외각의 크기의 합) = $180^{\circ} \times n -$(내각의 크기의 합)

$=180^{\circ} \times n - 180^{\circ} \times (n-2) = 180^{\circ} \times 2 = 360^{\circ}$

 

3. 오목다각형의 외각의 크기의 합은 $180^{\circ} \times m + 360^{\circ}$이다.

오목다각형 외각의 크기 합

$m$개의 오목꼭짓점이 있는 $n$각형에서 $a, b, c, d, \cdots$를 내각, $a' , b' , c' , d' , \cdots$를 외각이라 하면 오목꼭짓점 $c$에서는 $c+c' = 360^{\circ}$이므로 (내각)+(외각)=$180^{\circ}$로 하면 $180^{\circ}$가 계산에서 빠지게 된다. 따라서

$(a+a')+(b+b')+(c+c')+(d+d')+\cdots = 180^{\circ} \times n + 180^{\circ} \times m$이 된다.

$(a'+b'+c'+d'+\cdots)+(a+b+c+d+\cdots ) =180^{\circ} \times n + 180^{\circ} \times m$는

(내각의 합) + (외각의 합) = $180^{\circ} \times n + 180^{\circ} \times m$ 이고 $n$각형의 내각의 크기의 합이 $180^{\circ} \times (n-2)$이므로 (외각의 합) = $180^{\circ} \times m + 360^{\circ}$ 이다.