급수의 수렴, 발산을 판정할 수 있는 방법 중 하나인 일반항 판정법에 대해 알아보자.
만약, 급수 ∑∞n=1an이 S에 수렴한다고 하고, Sn=∑nn=1ak 라 하면,
lim, \lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S 이므로 a_n=S_n-S_{n-1} 이므로
\lim_{n \to \infty}a_n= \lim_{n \to \infty} \{ S_n - S_{n-1} \} = \lim_{n \to \infty}S_{n-1} = 0 이다.
따라서 급수 \sum_{n \to \infty}^\infty a_n 이 수렴하면, \lim_{n \to \infty} a_n = 0 이다.
단, 역은 성립하지 않는다.
(역이 성립하지 않는 예)
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}은 \lim_{n \to \infty} a_n = 0 이다. 그러나 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}은 발산한다.
\because \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} + \cdots
\geq 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} +\cdots
=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots
=1+ \frac{1}{2}k 이고, k \to \infty 이면 무한대이다.
즉, 주어진 급수는 무한대보다 크므로 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} 은 발산한다.
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