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수학

일반항 판정법 알아보기(급수 1/n은 발산하는 이유)

by 여행과 수학 2023. 1. 11.
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급수의 수렴, 발산을 판정할 수 있는 방법 중 하나인 일반항 판정법에 대해 알아보자.

 

만약, 급수 n=1anS에 수렴한다고 하고, Sn=nn=1ak 라 하면,

 

lim, \lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S 이므로 a_n=S_n-S_{n-1} 이므로

 

\lim_{n \to \infty}a_n= \lim_{n \to \infty} \{ S_n - S_{n-1} \} = \lim_{n \to \infty}S_{n-1} = 0 이다.

 

따라서 급수 \sum_{n \to \infty}^\infty a_n 이 수렴하면, \lim_{n \to \infty} a_n = 0 이다.

 

단, 역은 성립하지 않는다.

 

(역이 성립하지 않는 예)

 

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\lim_{n \to \infty} a_n = 0 이다. 그러나 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}은 발산한다.

 

\because \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} + \cdots

\geq 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} +\cdots

=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots

=1+ \frac{1}{2}k 이고, k \to \infty 이면 무한대이다.

즉, 주어진 급수는 무한대보다 크므로 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} 은 발산한다. 

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