일반항 판정법 알아보기(급수 1/n은 발산하는 이유)

급수의 수렴, 발산을 판정할 수 있는 방법 중 하나인 일반항 판정법에 대해 알아보자.

 

만약, 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$이 $S$에 수렴한다고 하고, $S_n=\sum_{n=1}^n a_k$ 라 하면,

 

$\lim_{n \to \infty}S_n = S$, $\lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S$ 이므로 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 이므로

 

$\lim_{n \to \infty}a_n= \lim_{n \to \infty} \{ S_n - S_{n-1} \} = \lim_{n \to \infty}S_{n-1} = 0$ 이다.

 

따라서 급수 $\sum_{n \to \infty}^\infty a_n$ 이 수렴하면, $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 이다.

 

단, 역은 성립하지 않는다.

 

(역이 성립하지 않는 예)

 

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$은 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 이다. 그러나 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$은 발산한다.

 

$\because \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} + \cdots$

$\geq 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} +\cdots$

$=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$

$=1+ \frac{1}{2}k$ 이고, $k \to \infty$ 이면 무한대이다.

즉, 주어진 급수는 무한대보다 크므로 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 은 발산한다.