3차방정식의 일반해 구하기(근의 공식)

3차방정식의 근의 공식은 1541년 수학자 타르탈리아가 발견했다고 알려져 있다. 3차방정식의 근의 공식을 구하는 방법을 알아보자.

 

3차방정식의 일반형

$ax^3+bx^2+cx+d=0  ( a \neq 0)$

 

3차방정식의 근의 공식 유도하기

3차방정식의 최고차항의 계수를 나누어 $x^3 + px^2 +qx + r= 0$ 이라 한다.

 

$x=y- \frac{p}{3}$ 을 대입하면,

 

$(y-\frac{p}{3})^3 + p(y- \frac{p}{3})^2 + q(y-\frac{p}{3} ) +r =0$이다.

 

위 식을 전개하고 정리하면,

 

$y^3 +qy +r =0$ 꼴로 정리된다.

 

즉, 3차방정식의 풀이는 $x^3 + mx = n$의 근의 공식을 구하는 것과 같다.

 

$x=u+v$ 라 하고, 위 식에 대입하면

 

$(u+v)^3 + m(u+v) = n$

$u^3 +3uv (u+v) +v^3 +m(u+v) =n$

$u^3 + v^3 +(3uv+m)(u+v)=n$ 이다. 

 

(1) $u^3+v^3=n$ 이 될 수 있는 $u$와 $v$를 구하자. 즉, $(3uv+m)(u+v)=0$ 이 되어야 하고, $u=-v$ 이면 $n=0$이 되므로

 

$3uv+m=0$, $uv=-\frac{m}{3}$ 이다.

 

$\Rightarrow u^3 v^3 = -\frac{m^3}{27}$ 이다. 즉, $u^3$과 $v^3$은 $t^2-nt-\frac{m^3}{27}=0$ 이라는 이차방정식의 해가 된다.

 

이러한 이차방정식의 근의 공식을 이용해서 근을 구하면,

 

$u^3 = \frac{n + \sqrt{n^2+4 \times \frac{m^3}{27}}}{2}$, $v^3 = \frac{n-\sqrt{n^2 + 4\times \frac{m^3}{27}}}{2}$ 이다.

 

$u_1= \sqrt[3]{\frac{n + \sqrt{n^2+4 \times \frac{m^3}{27}}}{2} }$,  $u_2 =\sqrt[3]{\frac{n + \sqrt{n^2+4 \times \frac{m^3}{27}}}{2}}\omega$,  $u_3=\frac{n + \sqrt{n^2+4 \times \frac{m^3}{27}}}{2}\omega^2$

 

$v_1= \sqrt[3]{\frac{n-\sqrt{n^2 + 4\times \frac{m^3}{27}}}{2} }$,  $v_2= \sqrt[3]{\frac{n-\sqrt{n^2 + 4\times \frac{m^3}{27}}}{2} }\omega$,  $v_3= \sqrt[3]{\frac{n-\sqrt{n^2 + 4\times \frac{m^3}{27}}}{2} }\omega^2$

 

(단, $\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 이다.)

 

또한, $x=u+v$ 이고, $uv=-m$을 만족하는 근의 짝을 지으면,

 

$\alpha =\sqrt[3]{\frac{n + \sqrt{n^2+4 \times \frac{m^3}{27}}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{n-\sqrt{n^2 + 4\times \frac{m^3}{27}}}{2}}$

$\beta = \sqrt[3]{\frac{n + \sqrt{n^2+4 \times \frac{m^3}{27}}}{2}}\omega + \sqrt[3]{\frac{n-\sqrt{n^2 + 4\times \frac{m^3}{27}}}{2}}\omega^2$

$\gamma = \sqrt[3]{\frac{n + \sqrt{n^2+4 \times \frac{m^3}{27}}}{2}}\omega^2 + \sqrt[3]{\frac{n-\sqrt{n^2 + 4\times \frac{m^3}{27}}}{2}}\omega$ 이다.

3차방정식 근의 공식