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포물선의 접선 성질 모음 포물선이란 평면 위의 한 정점과 이 점을 지나지 않는 준선 사이의 거리가 같은 점들의 자취이다. 이러한 포물선의 성질 6가지를 살펴보자. 포물선의 접선 성질 1. 포물선 위의 한 점에서의 접선은 접점에서 준선에 내린 수선, 접점과 초점을 잇는 직선 사이의 각을 이등분한다. 2. 포물선의 준선 위의 한 점에서 그은 두 접선은 직교한다. 3. 포물선의 두 접선이 직교할 때, 두 접선의 교점은 포물선의 준선 위에 있다. 4. 포물선의 두 접선이 직교할 때, 두 접점을 이은 직선은 포물선의 초점을 지난다. 5. 포물선 위의 두 점 PQ에서의 두 접선의 교점 R과 포물선의 축에 평행선을 그으면 선분 PQ의 중점 M을 지난다. 6. 포물선의 초점을 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 P, Q라고 하면, PQ를 .. 2022. 12. 5.
곱의 미분 증명하는 방법 곱미분, 두 함수의 곱 미분 곱의 미분법은 두 미분가능 함수 $f(x)$, $g(x)$에서 $y=f(x)g(x)$이면, $y' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$이다. 이러한 곱의 미분법 공식을 간단하게 증명해보자. 증명방법 두개의 함수 곱의 미분 $y'=\{ f(x)g(x) \}' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)(g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$ $=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(X)g(x)}{h}$ $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \{ g(x+h)-g(x) \} + g(x) \{ f(x+h)-f(x) \} }{h}$ $\lim_{h \to 0} \{ f(x+h) \frac{g(.. 2022. 12. 4.
몫(quotient)의 미분법 공식 증명하기 몫의 미분법은 분수로 이루어진 함수의 미분을 할 때 사용하는 미분법이다. 분수형태의 함수의 도함수를 구할 수 있는 몫의 미분법을 알아보자. 몫의 미분법이란? $F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ (단, $g(x) \neq 0 $ ) 이면 $F'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{ g(x) \}^2}$ 이다. 몫의 미분법을 미적분학 공부를 하는 학생들은 꼭 익혀야만 하는 공식 중 하나이다. 유리함수 형태의 미분가능한 함수의 도함수를 구하는 공식이므로 유용하게 사용가능하며, 분자에서 어떤 식을 먼저 미분해야 하는지 헷갈리는 경우가 많기 떄문에 분모를 제곱하고 분자를 먼저 미분한다고 생각하면 외우기 쉬울 것이다. 몫의 미분법의 증명방법 $F'(x) = \lim_{h \to.. 2022. 12. 3.
복소수의 극형식, 지수 표현 방법 복소수를 좌표평면 위의 점에 대응시켜 나타낼 수 있다. 이 때, 직교형식으로 나타내는 방법이 $z=a+bi \rightarrow A(a,b)$이다. 다음으로 복소수를 극형식으로 나타내는 방법을 알아보자. $z=a+bi$이고, 점을 직교좌표로 나타내면, $A(a,b)$이다. 선분 OA와 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\theta$라 하자. 이때 $a = |z|\cos \theta$, $b = |z|\sin \theta$ 이므로 이를 $z$에 대입하면, $z=|z|(\cos \theta + i \sin \theta)$ 이다. 이것이 복소수의 극형식이다. 또한 $\theta$를 $\arg(z) = \arg(a+bi)$라고 나타낼 수 있고, 이를 복소수의 편각이라고 한다. 복소수의 극형식 복소수 $z=a.. 2022. 12. 2.
복소수, 복소평면 알아보기 복소평면 실수를 수직선 위에 나타낼 수 있는 것과 마찬가지로 복소수는 좌표평면 위의 점과 대응시켜 나타낼 수 있다. 복소수 $z=a+bi$ ($a, b$는 실수) 라 하면, 이 복소수를 좌표평면 위의 점 $A(a,b)$에 대응시킬 수 있다. 이 점은 무조건 하나만 대응된다. 또한 역으로 생각하면, 좌표평면 위의 점 $A(a,b)$에 대응되는 복소수는 $a+bi$로 유일하게 정해진다. 즉, 좌표평면 위의 점과 복소수 전체 집합과는 일대일 대응을 이루게 된다. 즉, $a+bi \rightarrow A(a,b)$ 이다. 복소수 $z=a+bi$에 대응하는 점 $A(a,b)$에서 $x$성분 $a$를 실수부분, $y$성분을 허수부분이라고 한다. 기호로 $\rm Re( \it z \rm ) = \it a$, $\rm.. 2022. 12. 1.
부분분수 공식 모음(두개의 항, 세개의 항) 부분분수식을 활용하면, 분수 관련 계산 및 급수 계산에서 편리한 경우가 많다. 부분분수 공식을 알고 있으면 계산이 어려운것 같은 식도 쉽게 계산할 수 있다. 지금부터 부분분수 공식에 대해 알아보자. 1. 두개의 항이 곱해져 있는 경우 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A} (\frac{1}{A}-\frac{1}{B})$ 위 식을 변형하기 위해, 좌변의 분모 분자에 각각 $B-A$를 곱한다. $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A} \times \frac{B-A}{AB} =\frac{1}{B-A}(\frac{B}{AB} - \frac{A}{AB}) = \frac{1}{B-A}(\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$ 로 부분분수 식을 유도할 수 있다. 2. 세개의 항이 .. 2022. 11. 30.
중심각이 원주각의 두배인 이유 원주각, 중심각이란 무엇인가? 원주각이란? 한 점을 공유하고 있는 두 현이 원의 내부에서 이루는 각의 크기를 원주각이라 한다. 그림상으로 보면 선분 AB와 선분 BC가 이루는 각이다. 중심각이란? 원의 중심을 기준으로 원 위의 두 점과 연결된 각각의 선분이 이루는 각의 크기를 중심각이라 한다. 그림상으로 보면 선분 OB와 선분 OC가 이루는 각이다. 현(여기서는 선분 BC)의 길이가 같으면, 원주각의 크기는 모두 같고, 중심각은 원주각의 두배이다. 지금부터 그 이유를 삼각형의 형태에 따라 나눠서 증명해보자. 중심각이 원주각의 두배인 이유? 1. 외심이 삼각형 안에 있는 경우 먼저 꼭짓점 A에서 외심으로 직선을 그으면, 그 직선과 원의 교점을 D라 하자. 삼각형 OAB와 삼각형 OAC는 반지름이 같으므로 .. 2022. 11. 29.
삼각형의 내심, 외심 알아보기 삼각형의 중심을 나타내는 방법 중 내심, 외심에 대해 알아보자. 1. 삼각형의 내심 삼각형의 내심이란? 삼각형의 내접원의 중심을 말한다. 삼각형의 내접원은 삼각형이 안에서 내접하는 원을 말한다. 삼각형의 내심은 삼각형의 꼭짓점의 각의 이등분선의 교점으로 작도할 수 있다. 삼각형의 내접원은 내심에서 각 변에 수선을 내려 그릴 수 있다. 삼각형의 내심은 보통 기호로 $\rm R$라고 나타낸다. 삼각형의 내심, 내접원의 성질 (1) 내심에서 각 변에 내린 수선의 길이는 내접원의 반지름이다. (2) 세 내각의 이등분선에 의해 생긴 삼각형들은 각각 합동이다. 같은 색깔의 삼각형끼리 합동(RSA합동 - 직각, 원의 반지름 길이, 공통각) (3) 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times$ (세변 길이의 합.. 2022. 11. 28.
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