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젠센부등식과 그 증명방법 알아보기 젠센부등식이란? 함수 $f(x)$가 구간 $I$에서 아래로 볼록하면 $i=1,2, \cdots , n$에 대해 $x_1 \in I$이고 $w_1 >0$, $w_1+w_2+ \cdots + w_n =1$일 때 $w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+ \cdots + w_nf(x_n) \geq f(w_1x_1+w_2x_2 + \cdots + w_nx_n)$이 성립한다. 또한 $w=\frac{1}{n}$이면 $\frac{1}{n} (f(x_1)+f(x_2)+ \cdots + f(x_n)) \geq f(\frac{x_1+x_2+ \cdots + x_n}{n})$ 이다. 증명방법 수학적 귀납법으로 증명한다. $n=2$일 때 볼록함수의 정의에 의해 $w_1f(x_1)+w_2f(x_2) \geq (w_1x_1 + w_.. 2022. 12. 29.
코시 슈바르츠 부등식과 그 증명방법 알아보기 코시슈바르츠 부등식 임의의 실수 $a_1, a_2, \cdots, a_n$과 $b_1, b_2, \cdots , b_n$에 대하여 $(a_1b_1+a_2b_2+ \cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$이 성립한다. 이때 등호는 $b_i = ma_i$ ($i=1,2,3, \cdots, n$)일때 성립한다. 증명 $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \cdots + a_n^2 =0$이라 하자. $a_1 = a_2 = \cdots = a_n =0$이므로 등호가 성립한다. $a_1^2 + a_2^2 +a_3^2 + \cdots +a_n^2 \neq 0$이라 하면, 이차다항식 $p(x) .. 2022. 12. 28.
함수의 발전 단계(역사) 알아보기 함수란 정의역의 원소가 공역의 원소와 일대일 대응되는 관계를 함수라 한다. 이 함수는 역사적으로 5가지 단계를 거치며 발전했는데 그 과정을 각각 살펴보자. 1. 전함수 단계 전함수 단계는 시대적으로 고대 바빌로니아, 그리스 시대부터 17세기 이전 시기의 함수 개념을 의미한다. 이 시기에는 천체의 주기성을 연구한 기록, 프톨레마이오스의 삼각법에 대한 기록들이 함수 개념을 이용한다. 하지만 전함수 단계는 함수 용어를 정확하게 사용하지 않고 함수 개념을 사용하고 있는 단계이다. 2. 기하적 함수 단계 17세기 부터 함수의 개념을 본격적으로 사용한다. 이 시기의 함수 개념이 운동하는 물체를 곡선으로 나타내고 이를 개념화하는데 운동하는 물체의 형상을 표현하고 있어 기하적 함수 단계라고 한다. 운동을 나타내는 곡선.. 2022. 12. 27.
체비셰프 부등식과 그 증명방법 알아보기 체비셰프 부등식이란? $n \geq 2$일 때 $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \cdots \leq x_n$이고, $y_1 \leq y_2 \leq y_3 \leq \cdots \leq y_n$인 실수일 때, $x_1y_1 + x_2y_2 +x_3y_3 + \cdots + x_ny_n \geq \frac{1}{n} (x_1+x_2+x_3+\cdots + x_n)(y_1 +y_2 +y_3 + \cdots + y_n)$ 이다. (단, 등호는 $x_1=x_2=x_3=\cdots = x_n$ 또는 $y_1=y_2=y_3=\cdots = y_n$일때만 성립한다.) 증명방법 수학적 귀납법을 이용해서 증명한다. 1) $n=2$인 경우 $x_1y_1 + x_2y_2 - \frac{1}{2} (x_1+.. 2022. 12. 26.
재배열 부등식 알아보기 재배열 부등식이란? $r_1 \leq r_2 \leq \cdots \leq r_n$ 이고 $s_1 \leq s_2 \leq \cdots \leq s_n$이라 하자. 임의의 $s_1, s_2, \cdots, s_n$의 순열 $t_1, t_2, \cdots , t_n$에 대해서 다음 부등식이 성립한다. $ r_1s_n + \cdots + r_n s_1 \leq r_1 t_1 + \cdots + r_n t_n \leq r_1s_1+ \cdots + r_n s_n$ 증명 $k t_m$이라 가정하면, $(r_m -r_k)(t_k - t_m) \geq 0$이므로 $r_kt_k + r_mt_m \leq r_mt_k + r_kt_m$이다. 즉, $t_k$와 $t_m$의 위치를 바꾸면 $r_1t_1 + \cdots r_.. 2022. 12. 25.
톨레미 정리 알아보기 톨레미 정리(Ptolemy의 정리)란? 사각형 $\rm ABCD$가 원에 내접하면, 두 쌍의 대변의 길이의 곱끼리의 합은 대각선의 길이의 곱과 같다. 즉, $\overline{\rm AB} \times \overline{\rm CD} + \overline{\rm BC} \times \overline{\rm DA} = \overline{\rm AC} \times \overline{\rm BD}$ 이다. 증명 1) 원에 내접하는 사각형 $\rm ABCD$가 정사각형이면, $\overline{\rm AC} = \overline{\rm BD} = \sqrt{2} \cdot \overline{\rm AB}$ 이다.(즉, 톨레미 정리가 성립) 2) 정사각형이 아닌 경우에 일반성을 잃지 않고 $\overline{\r.. 2022. 12. 24.
정오각형에서 황금비 찾기 정오각형 정오각형은 각 변의 길이가 모두 같은 도형이다. 정오각형의 내각의 크기의 합은 $540^{\circ}$ 이고 한 내각의 크기는 $108^{\circ}$ 이다. 정오각형에서 대각선을 그으면 황금비를 발견할 수 있다. 이 황금비를 찾아보자. 정오각형 황금비 다음 그림에서 정오각형의 한 변의 길이를 1이라 하고, 대각선의 길이는 $x$라 하자. 선분 AB, 선분 EC, 선분 AE와 선분 BD, 선분 CD와 선분 BE 가 각각 평행하다. 따라서 삼각형 ABE와 삼각형 FCD는 닮음이다. 따라서 $\rm AB : BE = FC : CD$ 가 성립한다. $\overline{\rm FC} = \overline{\rm EC} - \overline{\rm EF}$ 가 성립한다. 따라서 $\overline{\rm.. 2022. 12. 23.
황금비의 작도방법 가장 아름답고 보기좋은 형태라고 알려져있는 황금비와 그 작도방법에 대해 알아보자. 황금비(Golden Ratio)란? 황금비는 그리스의 수학자 에우독소스가 명명했다고 알려져있다. 기호는 $\emptyset$(파이) 로 보통 표현하는데, 그리스의 조각가 피디아스(Phidias)에서 그리스어 머릿글자 파이를 따온 것이다. 황금비는 선분을 두 개의 부분으로 나눌 때, 선분 전체길이에 대한 긴선분 길이의 비는 긴선분 길이의 비와 짧은 선분의 길이의 비와 같도록 할 때 나오는 비를 말한다. 수학적으로 표현하면, $\overline{\rm AB} : \overline{\rm AP} = \overline{\rm AP} : \overline{\rm PB}$ 가 성립할 때, $\overline{\rm AP} : \ove.. 2022. 12. 22.
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