복소수, 복소평면 알아보기

복소평면

실수를 수직선 위에 나타낼 수 있는 것과 마찬가지로 복소수는 좌표평면 위의 점과 대응시켜 나타낼 수 있다.

복소평면과 복소수 대응

복소수 $z=a+bi$ ($a, b$는 실수) 라 하면, 이 복소수를 좌표평면 위의 점 $A(a,b)$에 대응시킬 수 있다. 이 점은 무조건 하나만 대응된다. 또한 역으로 생각하면, 좌표평면 위의 점 $A(a,b)$에 대응되는 복소수는 $a+bi$로 유일하게 정해진다. 즉, 좌표평면 위의 점과 복소수 전체 집합과는 일대일 대응을 이루게 된다.

 

즉, $a+bi \rightarrow A(a,b)$ 이다.

 

복소수 $z=a+bi$에 대응하는 점 $A(a,b)$에서 $x$성분 $a$를 실수부분, $y$성분을 허수부분이라고 한다. 기호로 $\rm Re( \it z \rm ) = \it a$, $\rm Im ( \it z \rm ) = \it b$ 라고 나타낸다.

 

복소수 $z=a+bi$에서 $b=0$이면, $z$는 실수이고, $a=0, b \neq =0$이면, $z$는 순허수이다.

$z$가 실수일 필요충분조건은 $z=\bar{z}$, 순허수일 필요충분조건은 $z = - \bar{z} (z \neq 0 )$ 이다.

 

복소수의 절댓값

복소수의 절댓값

복소수 $z=a+bi$에서 $|z| = |a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$ 이다. 다시말해 $|z|$는 원점과 점 $A(a,b)$사이의 거리이다.

 

이를 이용하면, 복소수 절댓값의 성질을 찾을 수 있다.

 

$\bar{z} = a-bi$, $z\bar{z} = a^2 + b^2$이므로

$|\bar{z}| = |z|$, $|z|^2 = z \bar{z}$가 성립한다. 또한,

 

$z=a+bi$, $w=c+di$라 하면,

$zw = (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$이고,

$|zw|^2 = (ac-bd)^2 + (ad-bc)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$

$=(a^2+b^2)(c^2+d^2) = |z|^2|w|^2$ 이다.

 

$|\frac{z}{w}|^2 = \frac{z}{w} \bar{(\frac{z}{w})} = \frac{z}{w}\frac{\bar{z}}{\bar{w}} = \frac{z\bar{z}}{w\bar{w}} = \frac{|z|^2}{|w|^2} = (\frac{|z|}{|w|})^2$ 이다.

 

위의 내용을 정리하면

1. $|\bar{z}|  = |z|$, $|z|^2 = z\bar{z}$

2. $|zw| = |z| |w|$

3. $|\frac{z}{w}| = \frac{|z|}{|w|}$ (단, $w \neq 0$ 이다.)

 

복소평면에서 두 점 사이의 거리

두 점 사이의 거리

복소평면 위의 두 점 $z=a+bi$, $w = c+di$ 가 0이 아닌 복소수일때,

 

$|z-w| = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}$ 은 두 점 $A(z)$, $B(w)$사이의 거리이다. 즉, $\overline{PQ} = |z-w|$ 이고,

$|z-w|^2 = (z-w)\overline{(z-w)} = (z-w)(\bar{z}-\bar{w}) = z\bar{z}+w\bar{w} - (z\bar{w}+\bar{z}w)$

$=|z|^2 + |w|^2 -2Re(z\bar{w})$이다.

 

즉, 두 복소수 $z$, $w$사이의 거리는 $|z-w| = \sqrt{|z|^2 + |w|^2 -2Re(z\bar{w})}$ 이다.