확률의 역사 알아보기 | 공리적 확률 | 베르누이 콜모고로프

우리는 어떤 일이 일어나기 전에 결과를 알 수 있을까? 결과를 완벽하게 아는 것은 불가능하다. 하지만, 그 사건에 관련된 다양한 정보를 이용해서 결과를 추측하는 것은 가능할 수 있다. 이 추측의 영역이 확률이다. 하지만, 이것이 사건의 결과를 알 수 있다는 말과는 다르다.

 

확률은 결정되지 않은 것이다. 그런데 결정되지 않은 것을 결정한다(규칙을 만든다)는 말이 과연 맞는말인가? 즉, 우연한 일에 대한 규칙이 존재하는가에 대한 인식이 중요한 요인이다. 고대, 중세 사람들은 우연한 일에는 규칙이 없다는 인식을 가지고 있었기 때문에 확률론은 다른 수학이론보다 훨씬 늦게 연구가 시작되었다.

 

"우연한 일에는 규칙이 없다" => "우연한 일에는 필연적인 규칙이 존재한다"

이 사고의 전환이 이루어지면서 확률의 연구가 시작되었다.

확률이란?

어떤 사건이 일어날지에 대한 믿음을 표현하는 수치로 특정한 결과가 나타나는 비율을 말한다.

확률의 시작

고대 그리스에서 동물의 뼈를 던져 나오는 형태에 따라 게임의 승패가 결정나는 게임이 존재했는데, 이 뼈에 그림을 새긴 것이 주사위의 시초가 되었다고 전해진다. 최초의 주사위는 기원전 1500년경에 이집트에서 만들어졌다.

주령구

우리나라 최초의 주사위는 주령구로, 통일 신라시대 문무왕(674년)에 조성된 경주 안압지의 연못 바닥에서 출토되었다. 주령구는 총 14개의 면에 8개의 삼각형, 6개의 사각형으로 제작되었다.

확률의 개념 도입

파촐리(Pacciolo) (1445~1509) 가 제시한 논문 "산술과 기하 비율의 총합"에서 득점 문제를 제기하였는데, 득점 문제란 다음과 같다.

득점 문제

A, B 두 사람이 돈을 걸고 게임을 진행하는데 5번 중 3번을 먼저 이긴 사람이 승리하는 방식으로 게임을 진행한다. A가 2승 1패를 한 상황에서 게임이 종료된다면, 돈은 어떻게 배분해야 하는가에 대한 문제이다.(단, A와 B의 게임 실력은 동등하다.)

 

이 문제는 당시에 많은 논쟁거리였고, 문제를 제기한 파촐리마저 틀린 해법을 제시했다고 알려져 있다.

 

이 문제의 정답은 4경기에서 A가 이길확률 1/2 + 5경기에서 A가 이길 확률 1/4 이므로 A가 상금을 차지할 확률은 1/2+1/4=3/4이다. 따라서 B가 상금을 차지할 확률은 1/4이다. 즉, A와 B는 상금을 3:1의 비율로 나눠가져야 한다.

파스칼과 페르마

득점 문제와 주사위 문제를 해결하는 과정에서 편지를 주고받으며 확률의 개념이 시작되었는데, 주사위 문제는 다음과 같다.

주사위 문제

두 개의 주사위를 던지는 시행을 n번 반복한다. n번을 던지는 동안 (6,6)이 한 번이라도 나오면 딜러가 이기고 한 번도 나오지 않으면 도전자가 이긴다. n=24이면 딜러가 불리한데 왜 그럴까?

딜러가 이길 확률

딜러가 이길 확률은 p=1-(35/36)^24=0.4914... 즉, 49.14%이다. 이를 통해 확률적으로 정교한 게임이 만들어졌다.

호이겐스(Heygens) (1629~1695)

호이겐스는 확률게임에 대한 최초의 논문 "주사위 도박 이론"을 발표했다. 주사위 도박 이론에서 기댓값의 개념과 게임의 상금에 관한 내용 등 확률이론 등을 수학적으로 다루었다.

야코프 베르누이(Jakob Bernoulli) (1654~1705)

"추측술"을 출간했다. 베르누이는 경우의 수와 확률을 연결시켰다. 또한 큰 수의 법칙을 최초로 증명하였다. 베르누이 시행, 베르누이 수 모두 야코프 베르누이의 이름에서 비롯되었다.

피에르 시몽 라플라스(Pierre Simon Laplace) (1749~1827)

라플라스는 확률론에서 엄청난 업적을 남겼는데 대표적으로 1. 중심 극한 정리, 2. 수학적 확률을 정의, 3. 확률의 해석적 이론 발표 3가지가 있다.

1. 중심극한정리

중심극한정리

독립된 확률분포를 가진 확률 변수 n개의 분포는 n이 커지면 정규분포에 가까워진다는 정리이다.

2. 수학적 확률을 정의

어떤 시행에서 표본 공간 S에 대하여 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같다고 기대될 떄, 사건 A가 일어날 확률 P(A)=n(A)/n(S) 이다. (이때, n(S)는 표본공간 S의 원소의 개수, n(A)는 A의 원소의 개수)

3. "확률의 해석적 이론" 발표

베르누이 정리, 득점 문제, 뷔퐁의 바늘 문제 등의 해결방법을 제시했다.

 

현대 확률론을 체계화한 인물

안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov) (1903~1987)

안드레이 콜모고로프는 소련의 수학자로 "확률론의 기초"를 저술하였으며, 확률이론의 공리화를 진행했으며, 현대 확률론의 토대를 마련했다. 집합론의 개념을 이용한 확률 공리 이론으로 확률이론을 현대 수학으로 발전시켰다. 흩어져 있던 확률이론들을 체계적으로 정리한 것이다.

공리적 확률

3가지 기본 공리를 바탕으로 모든 확률이론을 하나씩 증명해나간다. 또한 많은 분야에서 응용할 수 있게 되었다.