함수의 역사 알아보기 | 라이프니츠 디리클레 부르바키

함수의 개념은 모든 수학 전반에 걸쳐서 가장 기본이 되는 개념이다. 또한 현상을 수학적으로 표현할 수 있는 최고의 수단이다. 지금부터 함수의 역사를 알아보자.

고대와 중세시대의 함수

기원전 5세기 바빌로니아 사람들은 천체의 운동을 연구하기 시작하며 비례관계를 기록하였다. 프톨레마이오스(Ptolemaeos)는 저서 알마게스트(Almagest)에서 0.5˚~180˚ 까지 0.5˚마다 사인의 값을 계산하고 삼각함수표를 최초로 제시하였다. 이렇게 대응관계를 나타낸 것이다. ('함수의 대응 관계' 개념의 시작이라 보고 있다.)

 

그 이후로도 코페르니쿠스(Nicolaus Copernicus)(1473~1543), 갈릴레이(Galileo Galilei)(1564~1642), 케플러(Johannes Kepler)(1571~1630) 등 여러 학자들이 천문 관측을 통해 관계를 찾으려고 노력하였다. 특히 갈릴레이는 시간과 거리의 관계, 운동을 연구하며 비례라는 개념으로 일차함수를 사용하였고 등가속도 운동을 표현하기 위해 이차함수를 사용하였다.

 

결국 어떤 관계를 찾는 과정들이 함수 개념의 출발점이 되었다. 하지만, 이런 시도들은 함수를 논리적으로 규정한 것은 아니다.

함수(Function) 이라는 단어를 최초로 사용한 사람

라이프니츠(Leibniz) (1646~1716)

1694년에 라이프니츠가 Function 이라는 용어를 최초로 사용하였다. 또한 함수의 구체적인 정의가 제시되었다. 라이프니츠는 "변수 x의 값의 변화에 따라 다른 변수 y가 정해진다면, y를 x의 함수라 하자"고 하였다. 또한 함수 기호를 f라고 처음 사용하였다.

초기 함수의 개념

연속적인 변화

초기 함수의 개념은 변화에 초점이 맞추어졌다. 즉, 변수 x의 변화가 변수 y에 어떤 영향을 미치는가가 함수 개념의 핵심이었다. 연속적인 변화가 핵심이다. 더 나아가 요한 베르누이(Johann Bernoulli) (1667~1748)는 연속적인 변화와 대수식으로 나타내어진다라는 개념을 추가하였고, 이는 함수에 식의 개념이 처음으로 등장한 것을 의미했다.

 

그 이후 오일러는 해석적으로 표현할 수 있는(또는 두 수 사이의 관계를 나타내는 식) 대상을 함수라고 정의하였다.

해석적이란? 테일러 급수로 나타낼 수 있는 함수(즉, 무한 번 미분 가능)를 말한다.

f(x)의 기호를 최초로 사용한 사람

레온하르트 오일러(Leonhard Euler) (1703~1783)는 f(x)라는 함수 기호를 최초로 사용하였다. 라이프니츠는 단순히 기호로 f만을 사용했지만, 1734년 오일러가 괄호 안에 변수까지 표시하였다.

 

오일러가 제시한 "해석적인 식이 함수"라는 정의는 시간이 지나면서 19세기에 이르러 해석적이지 않은 함수들의 등장으로 이전 함수의 정의를 수정할 필요성이 대두되었다.

디리클레 함수

그동안 디리클레 함수는 연속이 아니고 식으로 표현되지도 않았기 때문에 함수가 아니었지만, 시간이 지나며 식으로 표현할 수 있게 되었고 이로 인해 연속이 아닌 식을 함수로 정의할 수 있는가에 대한 생각을 하게 되었다. 즉, 연속이라는 조건의 필요성에 대한 근원적인 의문이 발생한 것이다. 연속과 식으로 표현은 더 이상 함수의 정의일 필요가 없어진 것이다.

함수의 개념을 일반화시킨 사람은 디리클레이다.

디리클레(Dirichlet) (1805~1859)

디리클레의 함수 정의

두 변수 x, y에 있어서 x의 값을 정하면, 그에 따라 y의 값이 정해질 때, y는 x의 함수이다. 결국 변화, 식, 연속 등의 개념이 모두 사라지고 두 변수의 특정한 관계로 함수를 정의하게 되었다.

 

시간이 흘러 1939년 "부르바키"라는 수학자 단체에서 함수의 집합론적인 정의가 등장한다.

부르바키(Nicolas Bourbaki)

20세기 프랑스를 중심으로 활동한 수학자 단체로 현대 수학을 집합론을 바탕으로 체계적으로 정리하였다.

부르바키의 함수 정의

집합 X와 집합 Y에서 집합 X에 존재하는 모든 원소에 대하여 유일하게 대응되는 집합 Y의 원소가 존재한다면 y에서의 관계를 함수라고 한다. 가장 본질적인 요소만 함수의 정의가 되었다.

우리나라에서는 왜 "함수"라고 불릴까?

영어사전의 function 을 한자로 음역 한 것이 함수이다.

한자로는 상자함, 셈수 인데, 1853년 청나라의 수학자 "이선란"이 최초로 번역하였다. 이것은 일본(관수)을 거쳐 한국으로 들어오며 함수라는 표현으로 사용되었다. 상자에서 셈을 한다. 소리 나는 대로 한자를 사용했는데, 이 한자들은 함수의 의미를 잘 드러내고 있다.

 

함숫값은 한자 函(함 함) 數(셈 수) 値(값 치) (함수치) 에서 함수를 음역하고 치를 값으로 번역한 것이다. 또한 영어로 value of function 이고 value는 값, function은 함수를 의미해 함수의 값이라는 뜻이다.