미분방정식의 역사와 쓸모

세상의 모든 현상들은 다양하게 변화하고 있다. 사실 세상의 모든 현상은 변화이다. 이 세계에는 시간이라는 것이 흐르고, 시간에 따라 다양한 요인들이 변화한다. 빛, 기온, 낮과 밤, 높이 등의 많은 변화들을 분석하기 위해 변화를 정확히 측정할 필요성이 생기게 되었다. 변화를 측정하기 위한 도구는 순간의 변화를 측정하는 미분이다.

미분

기울기

미분을 직관적으로 이해해보면, 그래프 위의 두 점을 지나는 직선의 기울기는 (y증가량)/(x증가량) 과 같다. x의 증가량이 매우 작아지면, 결국 그래프 위의 직선의 기울기가 접선의 기울기와 같다. 이 방법이 미분의 원리이자 순간의 변화를 측정하는 방법이 된다.

 

보통은 시간에 따라 현상이 변화하므로 가로축을 시간이라고 설정하고, 세로축을 현상의 변화라고 생각한다면, 다양한 현상을 시간에 따라 수치적으로 표현할 수 있다. 또한 시간의 간격을 한없이 줄인다면, 순간의 변화도 측정할 수 있다.

미래의 변화 추측하기

미래의 어떠한 변화를 추측해야 하는 경우, 물리학에 나오는 대부분의 이론들은 수치로 표현할 수 없는 현상들이 많다. 예를들면, 어떠한 방사성 물질이 100mg 있을 때, 1000년 후에 이 물질은 어떻게 변화할지 알 수 없다. 그래서 그전의 과거 즉, 변화하는 과정을 관찰하여 미래를 예측해야 한다. 변화하는 과정을 분석하여 미분방정식을 찾아내는 것이다.

최초의 미분방정식 문제

물체의 낙하운동

갈릴레오 갈릴레이

물체가 떨어지는 것을 바라보던 갈릴레오 갈릴레이(1564~1642) 는 피사의 사탑에 올랐는데 질량이 다른 두 물체를 떨어뜨리게 되었다. 당시의 사람들은 질량이 다른 물체는 떨어지는 속도가 다를 것이라 생각했다. 하지만 갈릴레이는 질량에 관계없이 떨어지는 속도가 같음을 발견하게 된다. 즉, 갈릴레이는 중력가속도가 일정하다는 사실을 발견한다. 이 가속도 미분방정식을 통해 낙하하는 물체에 대한 거리함수를 찾았다.

중력가속도와 거리함수 식

사실 수많은 현상들이 미분방정식을 따르고 있다. 다양한 미분방정식을 풀이하는 것이 현상을 분석하는 연구방법인 것이다. 하지만 대부분의 미분방정식을 푼다는 것은 너무 어렵기 때문에 미분방정식을 쉽게 풀이하기 위한 공식과 방법들이 생겨나게 되고 수많은 학자들이 지금도 미분방정식을 연구하고 있다.

슈뢰딩거 파동방정식