체비셰프 부등식과 그 증명방법 알아보기

체비셰프 부등식이란?

$n \geq 2$일 때 $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \cdots \leq x_n$이고, $y_1 \leq y_2 \leq y_3 \leq \cdots \leq y_n$인 실수일 때,

$x_1y_1 + x_2y_2 +x_3y_3 + \cdots + x_ny_n \geq \frac{1}{n} (x_1+x_2+x_3+\cdots + x_n)(y_1 +y_2 +y_3 + \cdots + y_n)$ 이다.

(단, 등호는 $x_1=x_2=x_3=\cdots = x_n$ 또는 $y_1=y_2=y_3=\cdots = y_n$일때만 성립한다.)

 

증명방법

수학적 귀납법을 이용해서 증명한다.

 

1) $n=2$인 경우

$x_1y_1 + x_2y_2 - \frac{1}{2} (x_1+x_2)(y_1+y_2) = \frac{1}{2} (x_2-x_1)(y_2-y_1) \geq 0$ (성립한다.)

 

2) $n=k$일 때 성립한다고 가정하면

$x_1y_1+x_2y_2+\cdots + x_k y_k - \frac{1}{k}(x_1+x_2+ \cdots +x_k)(y_1+y_2 + \cdots +y_k) \geq 0$ 이다.

 

$x_1y_1 + x_2y_2+ \cdots + x_{k+1} y_{k+1} - \frac{1}{k+1}(x_1+x_2 + \cdots +x_k + x_{k+1})(y_1+y_2+ \cdots + y_k + y_{k+1})$

$ = (x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots +x_ky_k) + x_{k+1} y_{k+1}-\frac{1}{k+1}(x_1+x_2+\cdots+x_k+x_{k+1})(y_1+y_2 + \cdots +y_k +y_{k+1})$ 이다.

 

이때, $X=x_1+x_2+ \cdots + x_k+x_{k+1}$, $Y=y_1+y_2 + \cdots + y_k + y_{k+1}$이라 하자.

 

$ (x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots +x_ky_k) + x_{k+1} y_{k+1}-\frac{1}{k+1}(x_1+x_2+\cdots+x_k+x_{k+1})(y_1+y_2 + \cdots +y_k +y_{k+1})$

$\geq \frac{1}{k}(X-x_{k+1})(Y-y_{k+1}) + x_{k+1}y_{k+1}-\frac{1}{k+1} \cdot XY$

$=\frac{\{X-(k+1)x_{k+1} \} \{ Y-(k+1)y_{k+1} \}}{k(k+1)}$

 

가정에 의해 $x_1, x_2, \cdots, x_k , x_{k+1}$중에 $x_{k+1}$이 가장 크므로

$X-(k+1)x_{k+1} \leq 0$, $Y-(k+1)y_{k+1} \leq 0$이다. 따라서

$x_1y_1 + x_2y_2 +x_3y_3 + \cdots + x_ny_n - \frac{1}{n} (x_1+x_2+x_3+\cdots + x_n)(y_1 +y_2 +y_3 + \cdots + y_n) \geq 0$ 가 성립하므로 $n=k+1$때에도 주어진 부등식을 만족한다.

 

$x_1y_1 + x_2y_2 +x_3y_3 + \cdots + x_ny_n \geq \frac{1}{n} (x_1+x_2+x_3+\cdots + x_n)(y_1 +y_2 +y_3 + \cdots + y_n)$ 이다.