함수의 발전 단계(역사) 알아보기

함수란 정의역의 원소가 공역의 원소와 일대일 대응되는 관계를 함수라 한다. 이 함수는 역사적으로 5가지 단계를 거치며 발전했는데 그 과정을 각각 살펴보자.

1. 전함수 단계

전함수 단계는 시대적으로 고대 바빌로니아, 그리스 시대부터 17세기 이전 시기의 함수 개념을 의미한다. 이 시기에는 천체의 주기성을 연구한 기록, 프톨레마이오스의 삼각법에 대한 기록들이 함수 개념을 이용한다. 하지만 전함수 단계는 함수 용어를 정확하게 사용하지 않고 함수 개념을 사용하고 있는 단계이다.

2. 기하적 함수 단계

17세기 부터 함수의 개념을 본격적으로 사용한다. 이 시기의 함수 개념이 운동하는 물체를 곡선으로 나타내고 이를 개념화하는데 운동하는 물체의 형상을 표현하고 있어 기하적 함수 단계라고 한다. 운동을 나타내는 곡선의 접선, 법선, 곡선의 길이, 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이, 곡선을 따라 움직이는 속력 등을 연구하던 중 수학자들은 함수의 정의가 필요함을 느끼게 되고, 함수라는 용어는 라이프니츠(독일의 수학자)가 1962년에 자신의 논문에서 처음 사용했다. 라이프니츠는 함수를 곡선 길이, 곡선 위의 점에서 접선, 법선 등을 구하는 과정을 함수라고 정의했다.

3. 대수적 함수 단계

문자의 사용, 대수식 표현의 발달로 인해 함수를 대수적으로 연구하는 단계를 대수적 함수관계라 한다. 라이프니츠와 베르누이가 편지를 주고받는데 함수라는 표현이 등장하고 이때 베르누이는 함수를 "변하는 것과 상수가 결합된 크기"라고 표현하였다. 또한 오일러는 '무한해석개론'이라는 자신의 저서에서 함수를 "변수와 수, 상수가 결합된 해석적 표현"으로 정의한다. 이때부더 곡선운동과 함수의 개념을 분리해서 생각하게 되었다. 오일러는 다항식, 유리식, 무리식 등의 대수함수와 지수, 로그, 삭각함수 등이 포함된 초월함수로 구분하였으며 현재 함수의 기호 f(x) 도 처음으로 사용했다.

4. 논리적 함수 단계

18세기 코시(프랑스의 수학자)는 '해석교정'이라는 자신의 저서에서 "여러 변수 중 하나의 값에 따라 다른 변수값이 정해지는 관계가 있을 때, 처음변수는 '독립변수', 다른 변수들을 '종속변수'라 정의하고 변수 사이의 관계로 함수를 정의했다. 코시의 정의와 오일러의 정의의 차이점은 코시함수는 해석적인 식으로 나타내어야 한다는 조건이 없다. 따라서 함수는 x의 값에 따라 y값이 정해지는 규칙으로 정의되었다. 19세기가 되며 푸리에(프랑스의 수학자)가 함수열의 극한이 불연속 함수가 되는 예를 제시해 함수와 연속성의 개념을 새롭게 정의할 필요성이 생겨 디리클리(독일의 수학자)는 '주어진 구간에서 x의 값에 y의 유일한 값이 대응될때 y는 x의 함수'라고 정의했다. 이때부터 정의역의 한 원소는 반드시 하나의 공역에 대응되어야 하는 일가성이 강조되었다.

5. 집합적 함수 단계

19세기 말 바이어슈트라스(독일의 수학자)는 실수의 구조를 엄밀하게 정의하려는 시도 속에 공리론적 함수 개념이 발달한다. 1930년대 브로바키 학파는 함수를 '집합 X, Y에서 집합 X의 원소 x, 집합 Y의 원소 y의 관계에서 모든 x에 대해 x와 관계(relation)있는 y가 유일하다면 그 관계를 함수적 관계라고 한다.' 고 정의한다. 즉, 함수는 두 집합 X, Y의 곱집합 $X \times Y$ 의 부분집합으로 정의한다.