선형점화식과 일반적인 점화식 풀이 방법 알아보기

선형점화식이란?

수열 $\{ a_n \}$에 대해 인접한 $k$개의 항 사이에 다음 관계식이 성립한다면, 선형점화식이라 한다.

 

$p_0a_n + p_1a_{n-1} + p_2 a_{n-2} + \cdots + p_{k-1}a_{n-k+1} = 0$

(단, $n \geq k$이고 $p_0 \neq 0$, $p_1$, $p_2$ , $\cdots $, $p_{k-1}$은 상수)

 

점화식을 일반적인 해법은 점화식에 대응하는 특성방정식을 찾은 후 근과 수열 사이의 관계를 이용해 점화식을 푸는 것이다. 선형점화식에서 특성방정식은

$p_0 x^{k-1} + p_1x^{k-2} + p_2x^{k-3} + \cdots + p_{k-2}x + p_{k-1} =0$이다.

이 방정식의 $k-1$개 근을 이용해 수열의 일반항을 구한다.

 

1. $pa_{n+2} + qa_{n+1} +ra_n=0$, $p \neq 0$에서

$a_1, a_2$가 주어질때 일반항 구하기

특성방정식 $px^2+qx+r=0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면

(1) $\alpha \neq \beta$일 때

$a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n)$이므로

$a_{n+1}-\alpha a_n = (a_2 -\alpha a_1)\beta^{n-1}$↔①

 

$a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1}-\beta a_n)$이므로

$a_{n+1}- \beta a_n = (a_2 - \beta a_1) \alpha ^{n-1}$↔②

 

①-② 이면 $a_n = \frac{(a_2 - \alpha a_1) \beta^{n-1} - (a_2 - \beta a_1) \alpha^{n-1} }{\beta - \alpha}$

 

(2) $\alpha = \beta$일 때

$a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \alpha (a_{n+1}-\alpha a_n )$이므로

$a_{n+1} - \alpha a_n = (a_2 -\alpha a_1) \alpha ^{n-1}$↔③

 

③의 양변을 $a^{n+2}$로 나누면

 

$\frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} - \frac{a_n}{\alpha^n} = \frac{a_2 - \alpha a_1}{\alpha^2}$이므로

$\frac{a_n}{\alpha^n} = \frac{a_1}{\alpha} + (n-1) \frac{a_2 - \alpha a_1}{\alpha^2} $

 

따라서 $a_n = a_1 \alpha^{n-1} + (n-1) (a_2 -\alpha a_1) \alpha^{n-2}$ 이다.

 

<정리>

$pa_{n+2} + qa_{n+1} +ra_n=0$,  $p \neq 0$에서 $a_1, a_2$가 주어질때 일반항은

$px^2 + qx+ r=0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 할 때

(1) $\alpha \neq \beta$인 경우 : $a_n = A \alpha^{n-1} + B \beta^{n-1}$

(2) $\alpha = \beta$인 경우 : $a_n = (An+B) \alpha^{n-1}$

(단, $A, B$는 $a_1, a_2$에 의해 결정되는 상수)

 

2. $pa_{n+3} + qa_{n+2} + ra_{n+1} + sa_n =0$, $p \neq 0$에서

$a_1, a_2, a_3$가 주어졌을 때, 일반항 구하기

 

방정식 $px^2 + qx^2 +rx+s=0$의 세 근을 $\alpha, \beta, \gamma$라 하면

$a_{n+3} - (\alpha + \beta + \gamma)a_{n+2} + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)a_{n+1} - \alpha \beta \gamma a_n =0$이 성립한다.

 

(1) 세 근이 모두 다른 경우

$a_{n+3} - \alpha a_{n+2} - (\beta + \gamma) (a_{n+2} - \alpha a_{n+1}) +\beta \gamma (a_{n+1} - \alpha a_n) =0 $이므로

$a_{n+1} -\alpha a_n = A \beta^{n-1} + B \gamma^{n-1}$ ($A, B$는 상수)↔①

 

$a_{n+3} - \beta a_{n+2} - (\alpha + \gamma) (a_{n+2} - \beta a_{n+1}) + \alpha \gamma(a_{n+1} - \beta a_n) =0 $이므로

$a_{n+1} - \beta a_n = A' \alpha^{n-1} + B' \gamma^{n-1}$ ($A', B'$은 상수)↔②

 

①-② 이면 $a_n = A'' \alpha^{n-1} + B'' \beta^{n-1} + C'' \gamma^{n-1}$ (단, $A'', B'', C''$는 상수)

 

(2) 어떤 두 근이 같은 경우

$\alpha \neq \beta = \gamma$라 하면

$a_{n+3} - \alpha a_{n+2} -2 \beta(a_{n+2} - \alpha a_{n+1}) + \beta^2 (a_{n+1}-\alpha a_n) =0$이므로

$a_{n+1} - \alpha a_n = (An+B)\beta^{n-1}$ ($A, B$는 상수)↔③

 

$a_{n+3} - \beta a_{n+2} - (\alpha +\beta) (a_{n+2} - \beta a_{n+1}) + \alpha \beta (a_{n+1} - \beta a_n) =0$이므로

$a_{n+1} - \beta a_n = A' a^{n-1}+ B' \beta^{n-1}$ ($A', B'$는 상수)↔④

 

③-④라 하면 $a_n = A'' a^{n-1} + (B''n+C'') \beta^{n-1}$ (단, $A'', B'', C'' $는 상수)

 

(3) 삼중근을 갖는 경우

$a_{n+3} - \alpha a_{n+2} -2\alpha (a_{n+2} - \alpha a_{n+1} ) + \alpha^2 (a_{n+1}-\alpha a_n) =0$이므로

$a_{n+1} - \alpha a_n = (An+B) \alpha^{n-1}$ ($A, B$는 상수)

 

양변을 $\alpha^{n-2}$로 나누어 정리하면, $(\frac{a_n}{\alpha^n})$은 계차가 등차수열이므로

 

$a_n = (A''n^2 + B'' n +C'') \alpha^{n-1}$ ($A'', B'', C''$는 상수) 이다.

 

<정리>

$pa_{n+3}+ qa_{n+2}+ ra_{n+1}+s a_n =0$, $p \neq 0$ 에서 $a_1, a_2, a_3$가 주어졌을 때, 일반항은

$px^3+qx^2+rx+s=0$의 세 근을 $\alpha , \beta , \gamma$라 할 때

 

(1) 세 근이 모두 다른 경우

$a_n = A \alpha^{n-1} + B \beta^{n-1} + C \gamma^{n-1}$

 

(2) 어느 두 근이 같은 경우

$\alpha \neq \beta = \gamma$이면, $a_n = A \alpha^{n-1} + (Bn+C) \beta^{n-1}$

 

(3) 삼중근을 갖는 경우

$a_n = (An^2 +Bn+C)\alpha^{n-1}$ (단, $A, B, C$는 $a_1 , a_2 , a_3$에 의해 결정되는 상수)