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수학

중국인의 나머지정리 증명하기

by 여행과 수학 2023. 1. 14.
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중국인의 나머지정리란?

양의 정수 m1,m2,,mr가 모두 서로소이면, 임의의 r개의 정수 a1,a2,,ar에 대해 r개의 합동방정식

x \equiv a_1 (\mod m_1),\ x \equiv a_2(\mod m_2) ,\ x \equiv a_r (\mod m_r)

을 동시에 만족시키는 정수 a가 존재하고, a는 법 m=m_1m_2 \cdots m_r 에 대해 유일하다.

 

증명하기

각각의 k=1,2,3, \cdots, r에 대해 M_k = \frac{m}{m_k} 이라 하면, m_k는 모두 서로소이므로 gcd(M_k,m_k) = 1 이다. 따라서 M_kA_k \equiv 1 (\mod m_k)를 만족시키는 정수 A_k가 존재한다. 이때 A_kM_k의 법 m_k에 대한 역수이다.

 

a=a_1M_1A_1 + a_2M_2A_2 + \cdots + a_rM_rA_r 라 하자.

 

k에 대해 hk와 같지 않다면, m_k \mid M_k이므로 a \equiv a_kM_kA_k (\mod m_k) 이다.

즉, a가 주어진 r개의 합동방정식의 해이다.

 

a가 법 m에 대해 유일함을 증명하기 위해 또 다른 정수 b가 주어진 합동식들을 모두 만족시킨다하면,

모든 k에 대하여 a \equiv a_k \equiv b (\mod m_k)이므로 m_k \mid (a-b) 이다. m_k 가 서로소이므로 m = m_1m_2 \cdots m_r \mid (a-b) 이다. 즉, a \equiv b (\mod m) 이다.

 

그러므로 a는 법 m에 대해 유일하다.

 

중국인의 나머지 정리 문제 예시

x \equiv 2 (\mod 3), \ x \equiv 3 ( \mod 5) , \ x \equiv 4 (\mod 7) 을 동시에 만족시키는 정수를 모두 구하시오.

 

해답

m_1 =3m_2 =5m_3 =7a_1 =2a_2 =3a_3 =4 에 대해 중국인의 나머지정리를 적용하면,

m=105M_1=35M_2 =31M_3 =15 이므로

35A_1 \equiv 1 (\mod 3)21 A_2 \equiv 1 (\mod 5)15A_3 \equiv 1 (\mod 7) 을 만족시키는 정수 A_1,  A_2,  A_3를 구해햐 한다. 이 식을 간단히 하면,

2A_1 \equiv 1 (\mod 3)A_2 \equiv 1 (\mod 5)A_3 \equiv 1 (\mod 7) 이므로

A_1 =2A_2 = 1A_3 =1 이다.

따라서 a=2 \times 35 \times 2 + 3 \times 21 \times 1 + 4 \times 15 \times 1 = 263 이다.

 

a \equiv 263 \equiv 53 (\mod 105) 이다.

 

즉, 임의의 정수 k에 대해 x= 53 +105 k 가 위 문제를 동시에 만족시키는 모든 정수의 형태이다.

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