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중국인의 나머지정리란?
양의 정수 가 모두 서로소이면, 임의의 개의 정수 에 대해 개의 합동방정식
을 동시에 만족시키는 정수 가 존재하고, 는 법 에 대해 유일하다.
증명하기
각각의 에 대해 이라 하면, 는 모두 서로소이므로 이다. 따라서 를 만족시키는 정수 가 존재한다. 이때 는 의 법 에 대한 역수이다.
라 하자.
각 에 대해 가 와 같지 않다면, 이므로 이다.
즉, 가 주어진 개의 합동방정식의 해이다.
가 법 에 대해 유일함을 증명하기 위해 또 다른 정수 가 주어진 합동식들을 모두 만족시킨다하면,
모든 에 대하여 이므로 이다. 가 서로소이므로 이다. 즉, 이다.
그러므로 는 법 에 대해 유일하다.
중국인의 나머지 정리 문제 예시
을 동시에 만족시키는 정수를 모두 구하시오.
해답
, , , , , 에 대해 중국인의 나머지정리를 적용하면,
, , , 이므로
, , 을 만족시키는 정수 를 구해햐 한다. 이 식을 간단히 하면,
, , 이므로
, , 이다.
따라서 이다.
이다.
즉, 임의의 정수 에 대해 가 위 문제를 동시에 만족시키는 모든 정수의 형태이다.
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