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수학

중국인의 나머지정리 증명하기

by 여행과 수학 2023. 1. 14.
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중국인의 나머지정리란?

양의 정수 m1,m2,,mr가 모두 서로소이면, 임의의 r개의 정수 a1,a2,,ar에 대해 r개의 합동방정식

xa1(modm1), xa2(modm2), xar(modmr)

을 동시에 만족시키는 정수 a가 존재하고, a는 법 m=m1m2mr 에 대해 유일하다.

 

증명하기

각각의 k=1,2,3,,r에 대해 Mk=mmk 이라 하면, mk는 모두 서로소이므로 gcd(Mk,mk)=1 이다. 따라서 MkAk1(modmk)를 만족시키는 정수 Ak가 존재한다. 이때 AkMk의 법 mk에 대한 역수이다.

 

a=a1M1A1+a2M2A2++arMrAr 라 하자.

 

k에 대해 hk와 같지 않다면, mkMk이므로 aakMkAk(modmk) 이다.

즉, a가 주어진 r개의 합동방정식의 해이다.

 

a가 법 m에 대해 유일함을 증명하기 위해 또 다른 정수 b가 주어진 합동식들을 모두 만족시킨다하면,

모든 k에 대하여 aakb(modmk)이므로 mk(ab) 이다. mk 가 서로소이므로 m=m1m2mr(ab) 이다. 즉, ab(modm)이다.

 

그러므로 a는 법 m에 대해 유일하다.

 

중국인의 나머지 정리 문제 예시

x2(mod3), x3(mod5), x4(mod7)을 동시에 만족시키는 정수를 모두 구하시오.

 

해답

m1=3m2=5m3=7a1=2a2=3a3=4 에 대해 중국인의 나머지정리를 적용하면,

m=105M1=35M2=31M3=15 이므로

35A11(mod3)21A21(mod5)15A31(mod7) 을 만족시키는 정수 A1,A2,A3를 구해햐 한다. 이 식을 간단히 하면,

2A11(mod3)A21(mod5)A31(mod7) 이므로

A1=2A2=1A3=1 이다.

따라서 a=2×35×2+3×21×1+4×15×1=263 이다.

 

a26353(mod105) 이다.

 

즉, 임의의 정수 k에 대해 x=53+105k 가 위 문제를 동시에 만족시키는 모든 정수의 형태이다.

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