이항연산과 군의 정의, 군의 기본성질 알아보기

이항연산이란 무엇인가?

집합 $G$상에서 이항연산은 $G$의 임의의 두 원소로 이루어진 순서쌍 $(a,b)$에 대해 $G$의 원소를 하나씩 대응시키는 연산이다.  $(a,b)$에 대응되는 $G$의 원소를 $a * b$라 하자.

이때 $G$상의 이항연산 $*$ 는

 

$* : G \times G  \rightarrow G$,    $(a,b) \rightarrow a*b \in G$ 

 

이때 $G \times G$는 모든 순서쌍 $(a,b)$의 집합, 즉, $G \times G = \{ (a,b) | a \in G, b \in G \}$ 이다.

 

군(gruop)의 정의

연산 $*$가 가진 공집합이 아닌 $G$가 다음 성질 (1)~(3)을 만족시킬 때, $G$를 $*$에 대한 군(group)이라 한다.

 

(1) 모든 $a, b, c \in G$에서 $(a*b)*c = a*(b*c)$ 이다.

(2) 모든 $a \in G$에 대해 $e * a = a * e = a$를 만족시키는 $e \in G$가 존재한다.

(3) 임의의 $a \in G$에 대해 $a * a' = a' * a = e$를 만족시키는 $a' \in G$가 존재한다.

 

(1)은 결합법칙, (2)에서 원소 $e$를 $G$의 항등원, (3) 에서 $a'$을 $a$의 역원이라 한다.

 

덧셈연산(+) 인 경우 $a$의 항등원은 $0$, $a$의 역원은 $-a$라 한다.

곱셈연산($\cdot$) 인 경우 $a$의 항등원은 $1$, $a$의 역원은 $a^{-1}$라 한다.

 

가환군의 정의

군 $G$가 아래 교환법칙 (4) 을 만족시킬 때, $G$를 가환군이라 한다.

 

(4) 모든 $a, b\in G$에 대해 $a*b = b*a$ 이다.

 

가환군이 아닌 군은 비가환군이라 한다.

 

군의 기본성질

군 $G$의 이항연산을 $*$라 하면

(1) 항등원은 유일하다.

(2) 임의의 $a \in G$에서 그 역원은 유일하다.

(3) 임의의 $a,b \in G$에 대해 $(a')'=a$, $(a*b)' = b' * a'$ 이다.

(4) $a*b = a*c$이면 $b=c$이다.

(5) $a*c = b*c$이면 $a=b$이다.

 

증명하기

(1) $e_1, e_2 \in G$가 항등원이면, $e_1 = e_1 * e_2 =e_2$ 이므로 $e_1 = e_2$ 이다. 따라서 항등원은 유일하다.

 

(2) $a_1, a_2 \in G$가 $a$의 역원이면, $a_1 = a_1 * e =a_1 * (a*a_2) = (a_1 * a) * a_2 = e* a_2 =a_2$ 이므로 $a_1 = a_2$ 이다. 따라서 역원은 유일하다.

 

(3) $a*a' = a' * a =e$ 로부터 $a'$의 역원 $(a')'$ 은 $a$이다. 또한,

$(b'*a') * (a*b) = b' * (a' *(a*b)) = b' * ((a'*a)*b) = b'*(e*b)=b'*b=3$ 이다.

같은 방법으로 $(a*b)*(b'*a')=e$ 이므로 $(a*b)$의 역원은 $b'*a'$이다.

 

(4) $a*b=a*c$의 좌변에서 $a'$를 $*$연산하면, $a'*(a*b)=a'*(a*c)$이다. 결합법칙을 적용하면 $b=c$이다.

 

(5) $a*c = b*c$의 우변에서 $c'$을 $*$연산하면, $(a*c)*c' = (b*c)*c'$ 이다. 결합법칙을 적용하면 $a=b$이다.