Processing math: 100%
본문 바로가기
수학

나눗셈 정리와 그 증명법 알아보기

by 여행과 수학 2022. 12. 31.
반응형

목, 나머지, 배수, 약수 알아보기

q, r을 각각 ba로 나눈 몫과 나머지라 한다. 두 정수 a, b에 대해서 ab를 나눈다는 것은 b=ac를 만족시키는 c가 존재할때이다. 기호로 a|b 라 나타낸다. 이때 ba의 배수, ab의 약수라 한다.

 

나눗셈 정리란?

임의로 주어진 양의 정수 a와 정수 b에 대해서 b=aq+r (0r<a)를 만족시키는 정수 q,r이 유일하게 존재한다.

 

증명방법

(1) 존재성 증명

집합 S={bna|nZ,bna0} 는 공집합이 아니고 SN{0}이므로 집합 S에는 최소 원소가 존재한다. (정렬성의 원리)

 

최소원소를 r이라 하면 rS이므로 적당한 정수 q에 대해서 r=baq의 꼴로 표시된다. 따라서 b=aq+r이고 r0을 만족한다.

 

이제 ra라 가정하면 b(q+1)a=ra0이므로 b(q+1)aS이다. 하지만 b(q+1)a<r이므로 rS의 최소 원소임에 모순이다. 따라서 r<a 를 만족한다.

 

(2) 유일성 증명

q,r가 유일함을 보이자.

정수 q1r1b=q1a+r1 (0r1<a)를 만족시킨다 하자. 이때 aq1+r1=aq+r로 부터 a(q1q)=rr1이다. 만약 q1q라 하면 |a||q1q||a|=|a(q1q)|=|rr1|<|a| 가 되어 모순이다. 따라서 q1=q, r1=r이다. 따라서 q, r은 유일하게 존재한다.

 

728x90

댓글