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목, 나머지, 배수, 약수 알아보기
q, r을 각각 b를 a로 나눈 몫과 나머지라 한다. 두 정수 a, b에 대해서 a가 b를 나눈다는 것은 b=ac를 만족시키는 c가 존재할때이다. 기호로 a|b 라 나타낸다. 이때 b를 a의 배수, a를 b의 약수라 한다.
나눗셈 정리란?
임의로 주어진 양의 정수 a와 정수 b에 대해서 b=aq+r (0≤r<a)를 만족시키는 정수 q,r이 유일하게 존재한다.
증명방법
(1) 존재성 증명
집합 S={b−na|n∈Z,b−na≥0} 는 공집합이 아니고 S⊂N∪{0}이므로 집합 S에는 최소 원소가 존재한다. (정렬성의 원리)
최소원소를 r이라 하면 r∈S이므로 적당한 정수 q에 대해서 r=b−aq의 꼴로 표시된다. 따라서 b=aq+r이고 r≥0을 만족한다.
이제 r≥a라 가정하면 b−(q+1)a=r−a≥0이므로 b−(q+1)a∈S이다. 하지만 b−(q+1)a<r이므로 r이 S의 최소 원소임에 모순이다. 따라서 r<a 를 만족한다.
(2) 유일성 증명
q,r가 유일함을 보이자.
정수 q1과 r1이 b=q1a+r1 (0≤r1<a)를 만족시킨다 하자. 이때 aq1+r1=aq+r로 부터 a(q1−q)=r−r1이다. 만약 q1≠q라 하면 |a|≤|q1−q|⋅|a|=|a(q1−q)|=|r−r1|<|a| 가 되어 모순이다. 따라서 q1=q, r1=r이다. 따라서 q, r은 유일하게 존재한다.
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