절대부등식 알아보기

절대부등식이란?

주어진 집합의 원소에 대해 항상 성립하는 부등식을 의미한다.

 

1. 부등식 증명에 사용되는 실수의 성질

1) $a>b \Leftrightarrow a-b>0$

2) $a^2 \geq 0, a^2+b^2 \geq 0, a^2+b^2+c^2 \geq 0 , \cdots$

3) $a^2+b^2=0 \Leftrightarrow a=b=0 \Leftrightarrow |a|+|b|=0 \Leftrightarrow a+bi=0$

4) $|a|^2 = a^2, |ab|=|a|\cdot |b|$

5) $a>0$, $b>0$일 때, $a>b \Leftrightarrow a^2>b^2 \Leftrightarrow \sqrt{a} > \sqrt{b}$

 

2. 절대부등식의 예

$a>0, b>0$일 때,

1) 산술평균과 기하평균 : $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ (단, 등호는 $a=b$일 때, 성립한다.)

 

$a, b, x, y$가 실수일 때,

2) 코시-슈바르츠 부등식 : $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \geq (ax+by)^2$ (단, 등호는 $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$ 일 때, 성립한다.)

코시 슈바르츠 부등식과 그 증명방법 알아보기 (tistory.com)

코시 슈바르츠 부등식과 그 증명방법 알아보기

 

$a, b, c$가 실수일 때,

3) $a^2 \pm ab +b^2 \geq 0$ (단, 등호는 $a=b=0$ 일 때, 성립한다.)

4) $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geq 0$ (단, 등호는 $a=b=0$ 일 때, 성립한다.)

5) $|a|+|b| \geq |a+b|$ (단, 등호는 $ab \geq 0$ 일 때, 성립한다.)