공간에서 직선, 평면의 방정식을 구하는 방법

공간에서 직선의 방정식 구하기

하나의 점과 기울기로 유일한 직선을 결정할 수 있다. 따라서 한 점($A$)을 지나고 기울기가 방향벡터 $\vec{u}$ 와 같은 방향의 공간 상의 직선의 방정식을 구하는 방법을 살펴보자.

공간에서 직선의 방정식

$\vec{\rm AP}=$$\vec{u}$ 를 만족하는 실수 $t$ 가 존재한다.

$\vec{\rm AP}=$$\vec{\rm OP}-\vec{\rm OA}=\vec{p}-\vec{a}$ 이고,

$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}$이므로

$(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)+t(a,b,c)$

$x=x_1+at, y=y_1+bt, z=z_1+ct$ 이므로

$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ $(abc\neq0)$

따라서 공간에서 직선의 방정식은 $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ $(abc\neq0)$ 이다.

 

공간에서 평면의 방정식 구하기

공간에서 평면의 방정식

하나의 점($A$)과 법선벡터($\vec{n}$)로 유일한 평면을 결정할 수 있다.

$\vec{\rm AP}\bot\vec{n}$이므로 $\vec{\rm AP}\cdot\vec{n}=0$

$\vec{\rm AP}=\vec{\rm OP}-\vec{\rm OA}=\vec{p}-\vec{a}$ 이므로
$(\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{n}=0$

$(x-x_1,y-y_1,z-z_1)\cdot(a,b,c)=0$

$a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

$ax+by+cz-(ax_1+by_1+cz_1)=0$

$-(ax_1+by_1+cz_1)=d$라 하면,

$ax+by+cz+d=0$ 을 만족한다.

따라서 공간에서 평면의 방정식은 $ax+by+cz+d=0$ 이다.