연립일차방정식의 활용 문제 예제 3가지

연립일차방정식은 두 개 이상의 일차 방정식을 동시에 풀어 두 변수의 값을 구하는 데 사용됩니다. 이는 실생활에서 여러 조건이 동시에 적용되는 문제를 해결하는 데 유용합니다. 이번 글에서는 연립일차방정식을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 두 물건의 가격 계산

문제: 한 가게에서 볼펜 3자루와 공책 2권을 구매하면 5,400원이 듭니다. 볼펜 2자루와 공책 4권을 구매하면 6,800원이 듭니다. 볼펜 한 자루와 공책 한 권의 가격은 각각 얼마일까요?

풀이: 볼펜 한 자루의 가격을 $x$원, 공책 한 권의 가격을 $y$원이라고 하면 다음과 같은 연립방정식을 세울 수 있습니다:

$$ \begin{aligned} &3x + 2y = 5400, \\ &2x + 4y = 6800. \end{aligned} $$

첫 번째 식을 2배, 두 번째 식을 3배하여 $6x$를 맞춘 후 빼면:

$$ \begin{aligned} &6x + 4y - (6x + 12y) = 10800 - 20400, \\ &-8y = -9600 \implies y = 1200. \end{aligned} $$

$y = 1200$을 첫 번째 식에 대입하면:

$$ 3x + 2(1200) = 5400 \implies 3x + 2400 = 5400 \implies 3x = 3000 \implies x = 1000. $$

따라서 볼펜 한 자루는 1,000원, 공책 한 권은 1,200원입니다.

예제 2: 이동 거리와 속도

문제: 두 도시는 300km 떨어져 있습니다. 한 차량은 시속 80km로 출발하고, 다른 차량은 시속 100km로 출발합니다. 두 차량이 몇 시간 후에 만나며, 각각 몇 km를 이동했는지 구하세요.

풀이: 두 차량이 만나는 시간을 $t$시간이라고 하고, 첫 번째 차량의 이동 거리를 $d_1$, 두 번째 차량의 이동 거리를 $d_2$라고 하면 다음 방정식을 세울 수 있습니다:

$$ \begin{aligned} &d_1 + d_2 = 300, \\ &d_1 = 80t, \quad d_2 = 100t. \end{aligned} $$

첫 번째 식에 $d_1 = 80t$와 $d_2 = 100t$를 대입하면:

$$ 80t + 100t = 300 \implies 180t = 300 \implies t = \frac{300}{180} = \frac{5}{3} \, \text{(1시간 40분)}. $$

따라서 두 차량은 1시간 40분 후에 만나며, 첫 번째 차량은 $d_1 = 80 \cdot \frac{5}{3} = \frac{400}{3} \approx 133.33$km를 이동했고, 두 번째 차량은 $d_2 = 100 \cdot \frac{5}{3} = \frac{500}{3} \approx 166.67$km를 이동했습니다.

예제 3: 두 가지 투자 문제

문제: 한 사람이 총 1,000만 원을 연 3%와 연 5% 이율의 두 투자 상품에 나누어 투자하여 1년 후 이자로 40만 원을 받았습니다. 각 상품에 얼마를 투자했는지 구하세요.

풀이: 연 3% 상품에 투자한 금액을 $x$만 원, 연 5% 상품에 투자한 금액을 $y$만 원이라고 하면 다음 방정식을 세울 수 있습니다:

$$ \begin{aligned} &x + y = 1000, \\ &0.03x + 0.05y = 40. \end{aligned} $$

첫 번째 식에서 $y = 1000 - x$를 두 번째 식에 대입하면:

$$ 0.03x + 0.05(1000 - x) = 40 \implies 0.03x + 50 - 0.05x = 40. $$

계산을 통해:

$$ -0.02x = -10 \implies x = 500. $$

$x = 500$을 첫 번째 식에 대입하면 $y = 1000 - 500 = 500$입니다. 따라서 연 3% 상품과 연 5% 상품에 각각 500만 원씩 투자했습니다.

결론

연립일차방정식은 다양한 문제에서 두 변수의 관계를 풀어 실질적인 해결책을 제공합니다. 가격 계산, 거리와 속도 문제, 투자 계획 등 여러 실생활 상황에서 연립방정식을 활용할 수 있습니다.

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