약수와 배수의 기본 성질 알아보기

약수의 기본 성질

1. $\pm 1$은 $a$의 약수이고 $a$는 $\pm a$의 약수이다.

 

2. $a$가 1의 약수이면 $a = \pm 1$이다.

 

3. $a$가 $b$의 약수이고 $c$가 $d$의 약수이면 $ac$는 $bd$의 약수이다.

 

4. $a$가 $b$의 약수이고 $b$가 $c$의 약수이면 $a$는 $c$의 약수이다.

 

5. $a$가 $b$의 약수이고 $b$가 $a$의 약수이면 $a = \pm b$이다.

 

6. $a$가 $b$의 약수이고 $b \neq 0$이면 $|a| \leq |b|$이다.

 

7. $a$가 $b$와 $c$의 약수이면, 임의의 정수 $x$, $y$에 대하여 $a$는 $bx+cy$의 약수이다.

 

증명방법

1. $a=1 \cdot a = (-1) \cdot (-a)$이므로 $\pm 1$은 $a$의 약수이다.

 

2. $a$가 1의 약수이므로 $1=ac$인 정수 $c$가 존재한다. 따라서 $a=c=1$ 또는 $a=c=-1$ 이다.

 

3. $a$가 $b$의 약수이므로 $b=as$인 $s$가 존재하고 $c$가 $d$의 약수이므로 $d=ct$인 $t$가 존재한다. 따라서 $bd=(ac)(st)$이므로 $ac$는 $bd$의 약수이다.

 

4. $a$가 $b$의 약수이므로 $b=as$인 $s$가 존재하고 $b$가 $c$의 약수이므로 $c=bt$인 $t$가 존재한다. 따라서 $c=bt=a(st)$이다. 즉, $a$는 $c$의 약수이다.

 

5. $a$가 $b$의 약수이므로 $b=as$인 $s$가 존재하고 $b$가 $a$의 약수이므로 $a=bt$인 $t$가 존재한다. 따라서 $a=bt=(as)t=a(st)$이다. 따라서 $st=1$이다. $s=t=1$ 또는 $s=t=-1$을 만족하고 $a= \pm b$이다.

 

6. $a$가 $b$의 약수이므로 $b=at$인 $t$가 존재하며 $b \neq 0$이므로 $t \neq 0$이다. 즉, $|b|=|a||t|$이고 $|t| \geq 1$이므로 $|b| \geq |a|$ 이다.

 

7. $a$가 $b$의 약수이므로 $b=as$인 $s$가 존재하며 $a$는 $c$의 약수이므로 $c=at$인 $t$가 존재한다. 따라서 임의의 $x$, $y$에 대해 $bx+cy=(as)x+(at)y=a(sx+ty)$이므로 $a$는 $bx+cy$의 약수이다.