수열의 합 공식 유도 과정 쉽게 이해하기

수열의 합을 구하는 공식은 수학에서 매우 중요한 개념입니다. 등차수열과 등비수열의 합 공식은 단순한 암기가 아니라 유도 과정을 이해하면 더욱 쉽게 활용할 수 있습니다. 이번 글에서는 수열의 합 공식이 어떻게 유도되는지 쉽게 설명하겠습니다.

등차수열의 합 공식 유도

등차수열의 합 구하는 방법

등차수열의 합을 구하는 과정은 간단한 덧셈을 활용합니다. 먼저, 등차수열의 일반적인 형태를 살펴보겠습니다.

예를 들어, 첫째 항이 $a_1$, 공차가 $d$인 등차수열의 처음 n개 항을 더한다고 가정합시다.

이때, 등차수열은 다음과 같이 표현됩니다.

$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + a_n$

마지막 항은 일반항 공식 $a_n = a_1 + (n-1)d$을 사용하여 나타낼 수 있습니다.

공식 유도 과정

등차수열의 합을 구할 때, 수열을 거꾸로 한 번 더 적어봅니다.

$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + (n-1)d)$ $S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + ... + a_1$

이제 두 식을 더하면 각 항의 합이 동일한 값을 가지는 것을 알 수 있습니다.

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + ... + (a_1 + a_n)$

이 식에서 $(a_1 + a_n)$이 총 n개 존재하므로, 다음과 같은 결과를 얻습니다.

$2S_n = n (a_1 + a_n)$

양변을 2로 나누면 등차수열의 합 공식이 도출됩니다.

$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$

또한, 마지막 항 $a_n$을 일반항으로 표현하면 다음과 같이 변형할 수 있습니다.

$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$

등비수열의 합 공식 유도

등비수열의 합 구하는 방법

등비수열은 일정한 비율로 항이 증가하거나 감소하는 수열입니다. 등비수열의 합을 구할 때는 곱셈을 활용하는 것이 핵심입니다.

등비수열의 처음 n개 항을 더한다고 가정하면, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + ... + a_1 r^{n-1}$

공식 유도 과정

먼저, 이 식을 공비 $r$을 곱한 형태로 다시 적어봅니다.

$r S_n = a_1 r + a_1 r^2 + a_1 r^3 + ... + a_1 r^n$

이제, 원래 식에서 $rS_n$을 빼면 다음과 같이 됩니다.

$S_n - rS_n = (a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + ... + a_1 r^{n-1}) - (a_1 r + a_1 r^2 + a_1 r^3 + ... + a_1 r^n)$

위의 식을 정리하면 다음과 같습니다.

$S_n (1 - r) = a_1 (1 - r^n)$

마지막으로, $1 - r$로 나누면 등비수열의 합 공식이 도출됩니다.

$S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}$ (단, $r \neq 1$)

무한 등비수열의 합

특히, 공비 $-1 < r < 1$이면 $r^n$이 0에 수렴하게 됩니다. 따라서 무한 등비수열의 합 공식은 다음과 같이 간단히 정리됩니다.

$S = \frac{a_1}{1 - r}$ (단, $-1 < r < 1$)

결론

등차수열의 합 공식은 수열을 거꾸로 배열하여 합산하는 방식으로 쉽게 유도할 수 있습니다. 이를 통해 $S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$ 또는 $S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$의 형태로 나타낼 수 있습니다.

등비수열의 합 공식은 수열의 각 항에 공비를 곱한 후 빼는 방식으로 유도됩니다. 이를 통해 $S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}$이라는 공식을 얻을 수 있으며, 공비가 1보다 작은 경우 무한 등비수열의 합 공식 $S = \frac{a_1}{1 - r}$을 활용할 수 있습니다.

공식의 유도 과정을 이해하면 단순한 암기보다 훨씬 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다. 이제 수열 문제를 풀 때 공식이 자연스럽게 떠오를 것입니다!