계차수열 알아보기 | 문제 해결 전략

수열 문제를 풀다 보면 각 항 사이의 차이에 규칙이 있는 경우가 많습니다. 이러한 수열을 계차수열이라고 하며, 이를 활용하면 복잡해 보이는 수열의 일반항을 쉽게 구할 수 있습니다. 이번 글에서는 계차수열의 개념과 문제 해결 전략을 알아보겠습니다.

계차수열이란?

계차수열(繼差數列, difference sequence)이란, 주어진 수열에서 연속하는 두 항의 차이로 이루어진 새로운 수열을 의미합니다. 즉, 일반적인 수열이 다음과 같다면:

$a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$

그 차이로 이루어진 계차수열은 다음과 같이 정의됩니다.

$d_1 = a_2 - a_1, \quad d_2 = a_3 - a_2, \quad d_3 = a_4 - a_3, \quad \dots$

즉, 계차수열이 일정한 규칙을 가지면 원래 수열의 일반항을 유도할 수 있습니다.

계차수열의 예제

등차수열에서의 계차수열

등차수열은 각 항의 차이가 일정하므로 계차수열이 항상 일정한 값을 가집니다.

예제: 수열 $3, 7, 11, 15, 19, ...$의 계차수열을 구하면

$7-3 = 4, \quad 11-7 = 4, \quad 15-11 = 4, \quad 19-15 = 4, \dots$

즉, 계차수열은 $4, 4, 4, 4, ...$로 일정한 값을 가집니다.

등비수열에서의 계차수열

등비수열의 계차수열은 등차수열처럼 일정하지 않으며, 일정한 비율을 유지하는 특징이 있습니다.

예제: 수열 $2, 6, 18, 54, 162, ...$의 계차수열을 구하면

$6-2 = 4, \quad 18-6 = 12, \quad 54-18 = 36, \quad 162-54 = 108, ...$

이 계차수열 $4, 12, 36, 108, ...$을 보면 공비가 3인 등비수열임을 알 수 있습니다.

2계차수열 (계차수열의 계차수열)

어떤 수열의 계차수열이 등차수열이라면, 원래 수열은 2차식의 일반항을 가질 가능성이 큽니다.

예제: 수열 $2, 5, 10, 17, 26, 37, ...$을 보면

$5 - 2 = 3, \quad 10 - 5 = 5, \quad 17 - 10 = 7, \quad 26 - 17 = 9, \quad 37 - 26 = 11, ...$

즉, 계차수열은 $3, 5, 7, 9, 11, ...$로 등차수열을 이룹니다. 따라서 원래 수열의 일반항은 2차식 $a_n = an^2 + bn + c$ 형태일 가능성이 큽니다.

계차수열을 활용한 문제 해결 전략

1. 계차수열을 구해보기

주어진 수열의 연속하는 항의 차이를 구해 규칙성을 찾아봅니다. 만약 계차수열이 일정하면 등차수열이며, 등차수열이 아니더라도 일정한 패턴이 보일 가능성이 큽니다.

2. 계차수열이 등차수열이면 원래 수열은 2차식

만약 계차수열이 등차수열이라면, 원래 수열의 일반항은 2차식의 형태를 가질 확률이 높습니다. 따라서 일반항을 $a_n = an^2 + bn + c$로 가정하고 계수를 찾습니다.

3. 여러 단계의 계차수열 분석

계차수열을 반복적으로 구하다 보면 일정한 패턴이 나타날 수 있습니다. 예를 들어, 2계차수열이 일정하면 원래 수열은 2차식, 3계차수열이 일정하면 원래 수열은 3차식일 가능성이 큽니다.

4. 일반항 추론 후 검증

추론한 일반항이 실제로 주어진 수열과 일치하는지 몇 개의 항을 대입하여 검증합니다.

결론

계차수열을 활용하면 복잡해 보이는 수열 문제도 체계적으로 해결할 수 있습니다. 특히, 계차수열이 등차수열이면 원래 수열의 일반항이 2차식일 가능성이 크다는 점을 기억하면 문제를 쉽게 풀 수 있습니다.

실제 문제를 풀 때 계차수열을 구해보는 습관을 들이면 규칙성을 발견하는 능력이 향상될 것입니다.