등차수열과 등비수열의 차이점과 공식 정리

수열은 일정한 규칙에 따라 배열된 숫자의 나열을 의미합니다. 그중에서도 등차수열과 등비수열은 가장 기본적인 수열의 형태로, 각각 일정한 차이(공차) 또는 일정한 비율(공비)을 가집니다. 본 글에서는 등차수열과 등비수열의 차이를 비교하고, 각 수열의 일반항과 합 공식에 대해 정리하겠습니다.

등차수열과 등비수열의 정의

등차수열의 정의

등차수열(arithmetic sequence)이란 연속하는 두 항 사이의 차이가 항상 일정한 수열을 의미합니다. 이 일정한 차이를 공차(common difference, d)라고 합니다.

예를 들어, 수열 2, 5, 8, 11, 14, ...은 등차수열이며, 각 항의 차이는 3입니다. 즉, 공차 \( d = 3 \)입니다.

등비수열의 정의

등비수열(geometric sequence)은 연속하는 두 항의 비율이 항상 일정한 수열을 의미합니다. 이 일정한 비율을 공비(common ratio, r)이라고 합니다.

예를 들어, 수열 3, 6, 12, 24, 48, ...은 등비수열이며, 각 항이 이전 항의 2배가 되는 형태입니다. 즉, 공비 \( r = 2 \)입니다.

등차수열의 일반항과 합 공식

등차수열의 일반항

등차수열의 첫째 항을 \( a_1 \), 공차를 \( d \)라고 할 때, n번째 항(일반항)은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

예를 들어, 수열 2, 5, 8, 11, 14, ...에서 첫째 항이 2이고 공차가 3이므로, 10번째 항은 \( a_{10} = 2 + (10-1) \times 3 = 29 \)입니다.

등차수열의 합 공식

등차수열의 처음 n개 항의 합을 \( S_n \)이라고 할 때, 다음 공식이 성립합니다.

\( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \)

또는, n번째 항을 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \)

예를 들어, 수열 2, 5, 8, 11, 14의 처음 5개 항의 합은

\( S_5 = \frac{5}{2} (2 \times 2 + (5-1) \times 3) = 40 \)입니다.

등비수열의 일반항과 합 공식

등비수열의 일반항

등비수열의 첫째 항을 \( a_1 \), 공비를 \( r \)이라고 할 때, n번째 항(일반항)은 다음과 같습니다.

\( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)

예를 들어, 수열 3, 6, 12, 24, 48, ...에서 첫째 항이 3이고 공비가 2이므로, 6번째 항은

\( a_6 = 3 \times 2^{(6-1)} = 96 \)입니다.

등비수열의 합 공식

등비수열의 처음 n개 항의 합을 \( S_n \)이라고 할 때, 공비 \( r \neq 1 \)인 경우 다음 공식이 성립합니다.

\( S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \)

예를 들어, 수열 3, 6, 12, 24, 48의 처음 5개 항의 합은

\( S_5 = 3 \times \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 93 \)입니다.

등차수열과 등비수열의 비교

구분	등차수열	등비수열
규칙	각 항이 일정한 차이를 가짐	각 항이 일정한 비율을 가짐
일반항	\( a_n = a_1 + (n-1)d \)	\( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)
합 공식	\( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \)	\( S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \)

결론

등차수열은 각 항이 일정한 차이를 가지며, 일반항 공식은 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)로 표현됩니다. 반면, 등비수열은 각 항이 일정한 비율을 가지며, 일반항 공식은 \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)로 주어집니다.

두 수열의 합 공식도 다르며, 등차수열의 합은 등차수열의 평균을 활용하는 반면, 등비수열의 합은 기하급수적인 변화를 반영하는 형태입니다. 이를 활용하면 수열을 쉽게 계산하고 분석할 수 있습니다.