등비수열에서 공비가 1보다 작으면 어떻게 될까?

등비수열에서 공비 \( r \)은 항의 증가 또는 감소 패턴을 결정하는 중요한 요소입니다. 일반적으로 공비 \( r \)이 1보다 크면 수열이 점점 커지고, 1이면 모든 항이 동일하게 유지됩니다. 그렇다면 공비가 1보다 작으면 어떤 일이 발생할까요? 이번 글에서는 공비가 1보다 작은 경우, 특히 \( 0 < r < 1 \)과 \( r < 0 \)일 때의 특징과 수렴 여부를 살펴보겠습니다.

공비가 1보다 작은 등비수열의 특징

0보다 크고 1보다 작은 공비(\( 0 < r < 1 \))

공비가 1보다 작지만 양수인 경우, 수열의 값이 점점 작아지며 0에 수렴하게 됩니다.

예를 들어, 첫째 항이 10이고 공비가 0.5인 등비수열을 살펴보겠습니다.

\( 10, 5, 2.5, 1.25, 0.625, ... \)

각 항을 보면 점점 작아지며, 한없이 0에 가까워지는 것을 알 수 있습니다.

공비가 음수일 때(\( r < 0 \))

공비가 음수이면, 수열의 항들이 양수와 음수를 번갈아가며 진동하는 형태를 보입니다.

예를 들어, 첫째 항이 10이고 공비가 -0.5인 경우를 살펴보겠습니다.

\( 10, -5, 2.5, -1.25, 0.625, ... \)

항의 절대값은 점점 작아지지만, 부호가 계속 바뀌면서 진동하는 형태를 띕니다. 그러나 마찬가지로 0에 점점 가까워집니다.

공비가 1보다 작은 등비수열의 합

유한 개 항의 합

등비수열의 처음 n개 항의 합 공식은 다음과 같습니다.

\( S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} \) (단, \( r \neq 1 \))

공비가 1보다 작으면 \( r^n \)이 커지지 않고 점점 작아지므로, 합의 값도 일정한 값에 점점 가까워지는 특징이 있습니다.

무한 등비수열의 합

특히 공비가 \( -1 < r < 1 \)이면, 무한히 많은 항을 더할 때 수열이 특정한 값으로 수렴합니다. 이때 무한 등비수열의 합 공식은 다음과 같습니다.

\( S = \frac{a_1}{1 - r} \) (단, \( -1 < r < 1 \))

예를 들어, 첫째 항이 10이고 공비가 0.5인 경우, 무한히 많은 항을 더하면 다음과 같이 계산됩니다.

\( S = \frac{10}{1 - 0.5} = \frac{10}{0.5} = 20 \)

즉, 수열의 항을 무한히 더해도 그 값은 20을 넘지 않고 수렴합니다.

결론

공비가 1보다 작으면 등비수열의 값이 점점 줄어드는 특징을 가집니다. 특히 \( 0 < r < 1 \)이면 값이 점점 작아져 0에 수렴하며, \( r < 0 \)이면 부호가 번갈아가며 진동하면서 0에 가까워집니다.

무한 등비수열의 경우, 공비가 \( -1 < r < 1 \)이면 합이 특정한 값에 수렴하게 되며, 이때 합 공식은 \( S = \frac{a_1}{1 - r} \)로 계산할 수 있습니다.