수열은 일정한 규칙에 따라 배열된 숫자의 나열을 의미합니다. 그중에서도 등차수열과 등비수열은 가장 기본적인 수열의 형태로, 각각 일정한 차이(공차) 또는 일정한 비율(공비)을 가집니다. 본 글에서는 등차수열과 등비수열의 차이를 비교하고, 각 수열의 일반항과 합 공식에 대해 정리하겠습니다.

등차수열과 등비수열의 정의
등차수열의 정의
등차수열(arithmetic sequence)이란 연속하는 두 항 사이의 차이가 항상 일정한 수열을 의미합니다. 이 일정한 차이를 공차(common difference, d)라고 합니다.
예를 들어, 수열 2, 5, 8, 11, 14, ...은 등차수열이며, 각 항의 차이는 3입니다. 즉, 공차 d=3입니다.
등비수열의 정의
등비수열(geometric sequence)은 연속하는 두 항의 비율이 항상 일정한 수열을 의미합니다. 이 일정한 비율을 공비(common ratio, r)이라고 합니다.
예를 들어, 수열 3, 6, 12, 24, 48, ...은 등비수열이며, 각 항이 이전 항의 2배가 되는 형태입니다. 즉, 공비 r=2입니다.
등차수열의 일반항과 합 공식
등차수열의 일반항
등차수열의 첫째 항을 a1, 공차를 d라고 할 때, n번째 항(일반항)은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
an=a1+(n−1)d
예를 들어, 수열 2, 5, 8, 11, 14, ...에서 첫째 항이 2이고 공차가 3이므로, 10번째 항은 a10=2+(10−1)×3=29입니다.
등차수열의 합 공식
등차수열의 처음 n개 항의 합을 Sn이라고 할 때, 다음 공식이 성립합니다.
Sn=n2(2a1+(n−1)d)
또는, n번째 항을 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.
Sn=n2(a1+an)
예를 들어, 수열 2, 5, 8, 11, 14의 처음 5개 항의 합은
S5=52(2×2+(5−1)×3)=40입니다.
등비수열의 일반항과 합 공식
등비수열의 일반항
등비수열의 첫째 항을 a1, 공비를 r이라고 할 때, n번째 항(일반항)은 다음과 같습니다.
an=a1⋅r(n−1)
예를 들어, 수열 3, 6, 12, 24, 48, ...에서 첫째 항이 3이고 공비가 2이므로, 6번째 항은
a6=3×2(6−1)=96입니다.
등비수열의 합 공식
등비수열의 처음 n개 항의 합을 Sn이라고 할 때, 공비 r≠1인 경우 다음 공식이 성립합니다.
Sn=a11−rn1−r
예를 들어, 수열 3, 6, 12, 24, 48의 처음 5개 항의 합은
S5=3×1−251−2=93입니다.
등차수열과 등비수열의 비교
구분 | 등차수열 | 등비수열 |
---|---|---|
규칙 | 각 항이 일정한 차이를 가짐 | 각 항이 일정한 비율을 가짐 |
일반항 | an=a1+(n−1)d | an=a1⋅r(n−1) |
합 공식 | Sn=n2(2a1+(n−1)d) | Sn=a11−rn1−r |
결론
등차수열은 각 항이 일정한 차이를 가지며, 일반항 공식은 an=a1+(n−1)d로 표현됩니다. 반면, 등비수열은 각 항이 일정한 비율을 가지며, 일반항 공식은 an=a1⋅r(n−1)로 주어집니다.
두 수열의 합 공식도 다르며, 등차수열의 합은 등차수열의 평균을 활용하는 반면, 등비수열의 합은 기하급수적인 변화를 반영하는 형태입니다. 이를 활용하면 수열을 쉽게 계산하고 분석할 수 있습니다.
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