수열의 극한 활용 문제 예제 3가지

수열의 극한은 수열이 수렴하는 값, 발산 여부, 무한대에서의 거동 등을 분석하는 데 중요한 도구입니다. 이번 글에서는 수열의 극한을 활용한 문제와 풀이를 3가지 소개하겠습니다.

예제 1: 일반항을 통한 수렴 여부 판단

문제: 수열 $a_n = \frac{2n + 1}{3n + 2}$의 극한을 구하세요.

풀이:

1. $n$의 높은 차수로 분자와 분모를 나눕니다:

$$ a_n = \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{3n}{n} + \frac{2}{n}} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 + \frac{2}{n}}. $$

2. $n \to \infty$일 때 $\frac{1}{n} \to 0$이므로:

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2 + 0}{3 + 0} = \frac{2}{3}. $$

따라서 $a_n$은 $n \to \infty$일 때 $\frac{2}{3}$으로 수렴합니다.

예제 2: 교대수열의 수렴 여부

문제: 수열 $b_n = (-1)^n \frac{1}{n}$의 극한을 구하세요.

풀이:

1. $b_n$은 $(-1)^n$ 때문에 부호가 번갈아가며 변합니다. 하지만 크기는 $\frac{1}{n}$으로 표현됩니다.

2. 절댓값으로 확인하면 $\frac{1}{n}$의 극한을 계산합니다:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0. $$

3. 따라서 $b_n$은 $n \to \infty$일 때 진동하지만, 점차 크기가 $0$으로 수렴합니다:

$$ \lim_{n \to \infty} b_n = 0. $$

따라서 $b_n$은 $n \to \infty$일 때 $0$으로 수렴합니다.

예제 3: 무한대에서의 발산 판단

문제: 수열 $c_n = n \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}n\right)$의 극한을 구하세요.

풀이:

1. $c_n$에서 $\sin\left(\frac{\pi}{2}n\right)$의 값은 $n$의 짝수 또는 홀수에 따라 $\pm 1$을 반복합니다.

2. 따라서 $c_n$은 다음과 같이 표현됩니다:

$$ c_n = n \quad (\text{짝수일 때}), \quad c_n = -n \quad (\text{홀수일 때}). $$

3. $n \to \infty$일 때 $c_n$의 크기는 무한히 커지므로 발산합니다:

$$ \lim_{n \to \infty} c_n = \infty \quad (\text{발산}). $$

따라서 $c_n$은 $n \to \infty$일 때 발산합니다.

결론

수열의 극한은 수열의 수렴 여부, 발산, 무한대에서의 거동 등을 분석하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 수열 극한의 기본 원리와 다양한 활용 사례를 이해할 수 있습니다.

실생활 속 수학 사례와 예시 10가지