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수학

수열의 극한 활용 문제 예제 3가지

by 여행과 수학 2024. 12. 23.
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수열의 극한은 수열이 수렴하는 값, 발산 여부, 무한대에서의 거동 등을 분석하는 데 중요한 도구입니다. 이번 글에서는 수열의 극한을 활용한 문제와 풀이를 3가지 소개하겠습니다.

수열의 극한 활용 문제

예제 1: 일반항을 통한 수렴 여부 판단

문제: 수열 an=2n+13n+2의 극한을 구하세요.

풀이:

1. n의 높은 차수로 분자와 분모를 나눕니다:

an=2nn+1n3nn+2n=2+1n3+2n.

2. n일 때 1n0이므로:

lim

따라서 a_nn \to \infty일 때 \frac{2}{3}으로 수렴합니다.

예제 2: 교대수열의 수렴 여부

문제: 수열 b_n = (-1)^n \frac{1}{n}의 극한을 구하세요.

풀이:

1. b_n(-1)^n 때문에 부호가 번갈아가며 변합니다. 하지만 크기는 \frac{1}{n}으로 표현됩니다.

2. 절댓값으로 확인하면 \frac{1}{n}의 극한을 계산합니다:

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.

3. 따라서 b_nn \to \infty일 때 진동하지만, 점차 크기가 0으로 수렴합니다:

\lim_{n \to \infty} b_n = 0.

따라서 b_nn \to \infty일 때 0으로 수렴합니다.

예제 3: 무한대에서의 발산 판단

문제: 수열 c_n = n \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}n\right)의 극한을 구하세요.

풀이:

1. c_n에서 \sin\left(\frac{\pi}{2}n\right)의 값은 n의 짝수 또는 홀수에 따라 \pm 1을 반복합니다.

2. 따라서 c_n은 다음과 같이 표현됩니다:

c_n = n \quad (\text{짝수일 때}), \quad c_n = -n \quad (\text{홀수일 때}).

3. n \to \infty일 때 c_n의 크기는 무한히 커지므로 발산합니다:

\lim_{n \to \infty} c_n = \infty \quad (\text{발산}).

따라서 c_nn \to \infty일 때 발산합니다.

결론

수열의 극한은 수열의 수렴 여부, 발산, 무한대에서의 거동 등을 분석하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 수열 극한의 기본 원리와 다양한 활용 사례를 이해할 수 있습니다.

 

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