수열의 극한은 수열이 수렴하는 값, 발산 여부, 무한대에서의 거동 등을 분석하는 데 중요한 도구입니다. 이번 글에서는 수열의 극한을 활용한 문제와 풀이를 3가지 소개하겠습니다.

예제 1: 일반항을 통한 수렴 여부 판단
문제: 수열 an=2n+13n+2의 극한을 구하세요.
풀이:
1. n의 높은 차수로 분자와 분모를 나눕니다:
an=2nn+1n3nn+2n=2+1n3+2n.
2. n→∞일 때 1n→0이므로:
limn→∞an=2+03+0=23.
따라서 an은 n→∞일 때 23으로 수렴합니다.
예제 2: 교대수열의 수렴 여부
문제: 수열 bn=(−1)n1n의 극한을 구하세요.
풀이:
1. bn은 (−1)n 때문에 부호가 번갈아가며 변합니다. 하지만 크기는 1n으로 표현됩니다.
2. 절댓값으로 확인하면 1n의 극한을 계산합니다:
limn→∞1n=0.
3. 따라서 bn은 n→∞일 때 진동하지만, 점차 크기가 0으로 수렴합니다:
limn→∞bn=0.
따라서 bn은 n→∞일 때 0으로 수렴합니다.
예제 3: 무한대에서의 발산 판단
문제: 수열 cn=n⋅sin(π2n)의 극한을 구하세요.
풀이:
1. cn에서 sin(π2n)의 값은 n의 짝수 또는 홀수에 따라 ±1을 반복합니다.
2. 따라서 cn은 다음과 같이 표현됩니다:
cn=n(짝수일 때),cn=−n(홀수일 때).
3. n→∞일 때 cn의 크기는 무한히 커지므로 발산합니다:
limn→∞cn=∞(발산).
따라서 cn은 n→∞일 때 발산합니다.
결론
수열의 극한은 수열의 수렴 여부, 발산, 무한대에서의 거동 등을 분석하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 수열 극한의 기본 원리와 다양한 활용 사례를 이해할 수 있습니다.
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