수열의 유용한 공식 모음(정리)

1. 등차수열

▶ 수열 $a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n  , \cdots $가 모든 자연수 $n$에 대해서 $a_{n+1}-a_n = d$(일정) 일 때,

    이 수열은 공차가 $d$인 등차수열이다.

 

▶ 수열 $a, b, c$가 등차수열을 이룰 때 $b=\frac{a+c}{2}$를 등차중항이라 한다.

 

▶ 등차수열의 계산

① 세 수가 등차수열을 이룰 때 : $a-d, a, a+d$ 로 계산

② 네 수가 등차수열을 이룰 때 : $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ 로 계산

 

2. 등차수열의 일반항

▶ 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항 $a_n$은 $a_n = a+ (n-1) d$ 이다.

▷ 등차수열의 일반항은 $n$에 대한 일차식이다.

 

3. 등차수열의 합

▶ 첫째항이 $a$, 공차가 $d$, $n$번째 항이 $l$인 등차수열의 첫째항부터 $n$항까지의 합 $S_n$은

    $S_n = \frac{n(a+l)}{2} = \frac{n \{ 2a+(n-1)d \}}{2}$ 이다.

 

4. 조화수열

▶ $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \cdots, \frac{1}{a_n}, \cdots $ 가 등차수열이면, $a_1, a_2, \cdots, a_n , \cdots $는 조화수열이다. (즉, 역수가 등차수열이다.)

 

▶ 수열 $a, b, c$가 등차수열을 이룰 때 $b= \frac{2ac}{a+c}$ 를 조화중항이라 한다.

 

5. 일반항과 합의 관계

▶ 수열 $\{ a_n \}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 할 때

    일반항 $a_n$은 $a_1 = S_1$, $a_n = S_n - S_{n-1}$, (단, $n \geq 2$ 이다.)

 

6. 등비수열

▶ 수열 $a_1, a_2, \cdots , a_n , \cdots $가 모든 자연수 $n$에 대해서 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$일 때 이 수열은 공비가 $r$인 등비수열이다.

 

7. 등차중항,  등비중항,  조화중항

① 세 수 $a, x, b$ 가 이 순서로 등차수열이면, $x = \frac{a+b}{2}$ (산술평균)

② 세 수 $a, x, b$ 가 이 순서로 등비수열이면, $x = \pm \sqrt{ab}$ (기하평균)

③ 세 수 $a, x, b$ 가 이 순서로 조화수열이면, $x = \frac{2ab}{a+b}$ (조화평균)

 

▶ 산술평균, 기하평균, 조화평균의 대소관계

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$

 

8. 수열 사이의 관계

▶ 수열 $\{  a_n \} $ 에서 연속하는 세 항 사이에

① $2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}$ 이면 $\{ a_n \}$ 은 등차수열

② $(a_{n+1})^2 = a_n a_{n+2}$ 이면 $\{ a_n \}$ 은 등비수열

③ $\frac{2}{a_n+1} = \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+2}}$ 이면 $\{ a_n \}$ 은 조화수열

 

9. 등비수열의 일반항

▶ 첫째항이 $a$, 공비가 $r$ 인 등비수열의 일반항 $\{ a_n \}$ 은 $a_n = ar^{n-1}$ 이다.

 

10. 등비수열의 합

▶ 첫쨰항이 $a$, 공비가 $r$ 인 등비수열의 $n$항까지의 합 $S_n$ 은

① $r \neq 1$ 이면 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$

② $r =1$ 이면 $S_n = na$ 이다.

 

11. 원리합계 (1)

① 원금 $a$를 연이율 $r$인 단리법으로 $n$년간 예금할 때 원리합계 $A$는 $A = a (1+nr)$ 이다.

② 원금 $a$를 연이율 $r$인 복리법으로 $n$년간 예금할 때 원리합계 $B$는 $B = a(1+r)^n $ 이다.

 

12. 원리합계 (2)

① 매년초에 $a$원씩 연이율 $r$인 복리법에 의해 $n$년 적금할 때 원리합계 $A$는

    $A = a(1+r) + a(1+r)^2 + a(1+r)^3 + \cdots + a(1+r)^n $ 이다.

② 매년말에 $a$원씩 연이율 $r$인 복리법에 의해 $n$년 적금할 때 원리합계 $B$는

    $B = a+ a(1+r) + a(1+r)^2 + \cdots + a(1+r)^{n-1} $ 이다.

 

13. $\sum$ 의 성질

① $\sum_{k=1}^n c = cn$

② $\sum_{k=1}^n ca_k = c\sum_{k=1}^n a_k$ (단, $c$는 상수이다.)

③ $\sum_{k=1}^n (a_n \pm b_n) = \sum_{k=1}^n a_k \pm \sum_{k=1}^n b_k$

 

14. 자연수의 거듭제곱의 합

① $1+2+3+ \cdots + n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

② $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \sum_{k=1}^n k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

③ $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \sum_{k=1}^n k^3 = \{  \frac{n(n+1)}{2} \}^2 $

 

▷ 분수로 표시된 수열의 합은 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A} (\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$ 을 이용

 

15. 등차, 등비가 결합된 수열의 합

▶ 등차수열과 등비수열의 결합으로 이루어진 멱급수 $S$를 구할 때는 S-(공비)X S를 계산한다.

등차, 등비수열의 결합된 수열의 합

16. 계차수열

▶ 수열 $\{ a_n  \}$ 의 계차수열을 $\{ b_n \}$ 이라 하면 일반항 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k$ (단, $n \geq 2$ 이다.)

 

17. 군수열

① 각 군의 첫째항이 갖는 규칙성을 확인한다.

② 분수로 표시된 군수열에서는 분모, 분자가 서로 같은 것끼리 묶거나 분모, 분자의 합이 같은 것끼리 묶는다.

▷ 분수로 표시된 수열도 분자, 분모, 분자+분모를 기준으로 해서 같은 성질을 가진것만 묶어 군수열을 만든다.

 

18. 수학적 귀납법

▶ 자연수 $n$에 대해 명제 $P(n)$가 성립함을 보일 때,

① $P(1)$ 가 성립함을 보인다.

② $P(k)$ 가 성립한다 가정할 때, $P(k+1)$가 성립함을 보인다.

이때 명제 $P(n)$은 모든 자연수 $n$에 대해 성립한다.

 

19. 수열의 귀납적 정의

▶ 수열 $\{  a_n \}$에서 $n=1,2, 3, \cdots $ 일때

① 등차수열: $a_{n+1} - a_n = d $(일정) 또는 $2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}$ 

② 등비수열 : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$(일정) 또는 $a_{n+1}^2 = a_n \cdot a_{n+2}$

③ 조화수열 : $\frac{2}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+2}}$

 

20. 점화식으로 표현된 수열의 일반항

$a_{n+1} = a_n +f(n)$	$n$ 대신에 $1,2, \cdots , n-1$ 을 대입해서 변끼리 더한다.  $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}f(k)$
$a_{n+1} = f(n) a_n $	$n$ 대신에 $1, 2, \cdots , n-1$ 을 대입해서 변끼리 곱한다.     $a_n = a_1 \cdot f(1) \cdot f(2) \cdot \cdots \cdot f(n-1)$
$a_{n+1} = pa_n +q$	$a_{n+1}-\alpha = p(a_n - \alpha)$로 변형한 후 \{ a_n -\alpha  \}$ 가 등비수열임을 이용한다.
$a_{n+1} = \frac{pa_n}{qa_n+r}$	양변에 역수를 취하고 $b_n = \frac{1}{a_n}$ 으로 두고 계차수열 형태로 계산한다.
$a_{n+1} = q a_n^p$	양변에 로그를 취한 후 치환한다.