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p급수의 수렴, 발산 조건 알아보기 $p-$급수란? $p>0$ 인 실수 $p$에 대해서 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 이다. $p-$급수에서 $p$의 값에 따른 수렴, 발산을 조사해보자. (1) $p>0$인 경우 수렴, 발산 조사 $p-$급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 의 부분합 $S_n$을 $S_n = 1+\frac{1}{2^p} + \cdots + \frac{1}{n^p}$ 라 하자. 자연수 $k$에 대해서 수열 $\{ S_n \}$의 부분수열 $\{ S_{2^k-1} \}$ 은 다음 부등식을 만족한다. $S_n=1$ $S_3 = 1+\frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} < S_1 + 2 \times \frac{1}{2^p} =1+ \frac{1}{2.. 2022. 11. 14.
베르누이 부등식 증명하기 베르누이 부등식 $a \in \mathbb{R}$이고 $a>0$ 일 때 각 자연수 $n$에 대하여 $(1+a)^n \leq 1+na$ 가 성립한다. 베르누이 부등식 증명방법 수학적 귀납법을 이용해서 증명한다. (i) $n=1$ 일 때, $(1+a)^1 \geq 1+1\cdot a$ 이다.(성립한다.) (ii) $n=k$ 일 때, $(1+a)^k \geq 1+ka$ 가 성힙한다 가정하면, $(1+a)^{k+1}=(1+a)^k \cdot (1+a) \geq (1+ka)(1+a) = 1+a+ka+ka^2 > 1+(k+1)a $따라서 $n=k+1$ 일 때도 성립한다. 2022. 11. 14.
드무와브르 정리 알아보기(3배각 공식 증명) 드무아브르 정리는 복소수의 거듭제곱에 대한 성질이다. 드무아브르의 정리를 간단하게 알아보자. 드무아브르 정리란? 복소수 $z=r e^{i \theta}$에서 임의의 정수 $n$에 대하여 $z^n = r^n (e^{i \theta})^n = r^n e^{i n \theta}$ 를 만족한다. 특히 $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta $이므로 $z^n = r^n (\cos n \theta + i \sin n\theta)$ 이다. 드무아브르 정리 유도하기 두개의 단위복소수를 서로 곱하면, 지수법칙에 의해 $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} = e^{i (\theta_1 + \theta_2)}$가 성립한다. 세개의 단위복소수를 서로 곱하면, $e^{i \t.. 2022. 11. 9.
회전체의 겉넓이 구하는 공식 알아보기 함수가 주어졌을 때, $x$축 또는 $y$축을 중심으로 회전시키면, 회전체가 생긴다. 회전체의 겉넓이를 구하는 공식을 알아보자. x, y축을 회전축으로 해서 회전시킨 입체도형의 겉넓이 1. $y=f(x)$가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 $[a,b]$에서 $x$축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 $S_x$ 라 하자. 이 때, $S_x$ 를 구하면, $S_x= \int_{a}^{b} 2\pi f(x) \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx = \int_a^b 2\pi y \sqrt{1+(y')^2}dx$ 2. $y=f(x)$가 연속인 도함수를 갖는다고 할 때, 구간 $[a,b]$에서 $y$축을 중심으로 회전시켜서 생기는 회전체의 겉넓이를 $S_y$ 라 하자. 이 때, $S_y$ 를.. 2022. 11. 8.
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