아리스토텔레스 바퀴

그리스의 수학자 아리스토텔레스가 제시한 아리스토텔레스 바퀴 문제가 있다.

아리스토텔레스

아리스토텔레스의 바퀴 문제란?

아리스토텔레스 바퀴 문제

바퀴문제

중심을 O로 하는 두개의 동심원을 1회전 시킬 때, 점 A와 B는 각각 A', B'로 굴러간다. 이 때, 파란색 두 선분의 길이가 같다. 그렇다면, 반지름이 다른 두 원의 둘레의 길이는 같은가?

 

언뜻 보기에는 같은 길이만큼 두 점이 굴러가기 때문에 두 원의 둘레의 길이는 같을 수도 있을것처럼 보인다. 왜 이러한 결과가 생기는지 생각해보자.

 

굴러가는 안쪽 원 분석하기

두개의 원이 한바퀴 굴렀는지 확인해보면, 확실하게 두 원은 모두 한바퀴 굴렀다.

선분의 대응

하지만 두 원을 따로 떼어놓고 두 원을 같은 방법으로 굴린다면, 원의 둘레만큼 한바퀴 구른다. 작은원의 반지름의 길이가 1, 큰원의 반지름의 길이가 2라면, 두개를 따로 떼어 놓으면 길이는 2pi, 4pi가 되므로 다르다. 길이는 다르지만, 위의 그림과 같이 점끼리는 모두 대을되게 할 수 있다.

 

왜 이런 현상이 일어날까?

미끄러져 가는 것

작은 원은 바퀴 안에서 구를 때 원의 둘레만큼 굴러가는것이 아니라 미끄러지면서 구르기 때문에 4pi만큼 더 굴러가는 것이다. 즉, 추가적인 움직임이 더 생긴다는 의미와 같다.