소수 규칙성의 존재 가능성을 확인한 바젤문제

리만가설의 출발점이라고도 불리는 바젤문제, 이 문제는 1644년에 스위스 바젤시, 바젤대학 소속 베르누이에 의해 제기되었던 문제이다. 1734년 레온하르트 오일러가 이 문제를 해결하기 전까지 90년 정도의 시간동안 해결되지 못한 문제이다.

바젤문제

자연수의 제곱분의 1의 무한합의 결과는 과연 무엇일까?

이때, 등장했던 스위스 천재 수학자 레온하르트 오일러는 바젤문제의 값이 pi^2/6 임을 발견한다. 그렇다면 pi^2/6 인 이유는 무엇인지 살펴보자.

sin그래프

먼저 sinx의 그래프를 참고하여 근을 구하면, 0, ±pi, ±2pi, ±3pi, ... 이다. 이 sin의 근을 기준으로 해서 다른 식을 세우고 계산해보자.

sin 함수의 근을 이용해서 식을 찾아낸 후, 양 변에 극한을 취해 미지수k 의 값을 구한다. k=1임을 알 수 있다. 또한 sinx를 테일러 급수로 나타낸 뒤, x의 세제곱 계수를 각각 비교하면, 바젤문제의 해가 pi^2/6임을 알 수 있다.

 

소수의 규칙성에 대한 문제를 찾을 수 있는 이유는?

바젤문제는 자연수 제곱의 역수의 합을 구하는 문제이지만, 식을 적당히 변형하면, 소수로 구성된 식으로 변형할 수 있다. 바젤문제 식을 적당히 변형해서 소수가 포함된 무한급수 형태로 바꿔보자.

소수 식으로 계산1

소수 식으로 계산 2

식을 이렇게 변형하고나니, 소수만으로 이루어진 식이 원주율이 포함된 pi^/6의 형태로 결과가 나왔다. 이는 소수 만으로 이루어진 식이 의미있는 숫자인 원주율이 되었으므로, 소수의 규칙성의 존재가능성을 어느정도 확인한 것이라고 할 수 있다. 이 연구는 훗날 리만가설 연구로 이어지게 된다.