세상에서 가장 아름다운 공식이라는 오일러 공식 알아보기

세상에서 가장 아름답다고 알려진 오일러 공식이 있다. 오일러 공식이란 과연 무엇이며, 공식의 유도방법, 왜 사람들이 가장 아름다운 공식이라고 하는지 간단한 이유에 대해 살펴보자.

레온하르트 오일러 (Leonhard Euler) (1707 ~ 1783)

레온하르트 오일러

오일러는 스위스의 수학자이며 무한급수(Infinite Series)의 연구에 매진했다고 알려져 있다.

무한급수

그는 천재수학자라고 불리며 수학에서 엄청난 업적을 남겼는데 그 중 오일러 공식이 가장 훌륭한 업적 중 하나라고 평가되고 있다. 그가 남긴 오일러 공식은 무엇일까?

오일러 공식(Euler's formula)이란?

오일러 공식

위 식이 오일러 공식이다. 이 공식을 테일러 급수를 사용해서 간단하게 유도해보자.

오일러 공식의 유도

e^x, sinx, cosx 의 식을 각각 테일러 급수로 표현하면, 아래 식과 같다.

테일러 급수의 표현방법

이 식을 보고 적당히 변형하면 오일러 공식을 유도할 수 있다. 오일러 공식의 유도방법은 e^x 식에 ix를 대입해서 식을 정리하는 것이다.

오일러 공식의 유도1

오일러 공식의 유도2

오일러 공식이 가장 아름다운 공식이 된 이유

오일러공식1

오일러공식2

오일러 공식을 자세하게 살펴보면, 덧셈연산, 곱셈연산, 지수연산, 등호연산 총 4가지의 연산이 공식안에 하나씩 포함되어 있다. 또한 숫자 0과 1, 자연상수 e, 허수단위 i, 원주율 pi (5가지 수) 가 모두 사용되어 하나의 공식을 이루고 있다. 모든 연산과 모든 숫자가 모여 하나의 등식을 이루고 있기 때문에 세상에서 가장 아름다운 공식이라고 불려지게 되었다.

 

또한 이러한 모든 수, 연산으로 구성된 수가 아무것도 없는 0으로 돌아가는 등식은 수학의 신비를 드러내기에 충분하다.