멩거스펀지의 겉넓이, 부피 계산방법

멩거스펀지란 무엇인가

멩거스펀지(Menger's Sponge)란 시어핀스키 카펫을 3차원으로 확장한 입체도형이다. 멩거스펀지는 오스트리아의 수학자 카를 멩거(1902 ~ 1985) 가 생각해 낸 프렉탈 입체도형이다.

 

멩거스펀지는 정육면체를 아래 규칙에 따라 일부분을 제거해 나가며 만들 수 있다.

 

멩거스펀지 규칙

멩거스펀지란? 정육면체를 다음과 같은 규칙에 따라 일부분을 제거해나갈 수 있다.

멩거스펀지 규칙

이러한 과정을 반복해서 n번째 단계에서 생겨난 입체도형을 멩거스펀지라고 한다.

무한번의 과정을 반복했을 때, 멩거스펀지의 부피, 겉넓이를 알아보자.

 

처음의 정육면체의 한 모서리의 길이를 1이라고 가정한 상태에서 살펴보자.

 

첫번째 부피 구하기

모서리, 정육면체 개수

부피 극한값

멩거스펀지의 부피를 구하기 위해 처음 0단계부터 단계를 거듭할 수록 모서리의 길이의 변화를 살펴보면, 단계를 거듭할수록 1/3 배씩 줄어드는것을 알 수 있다. 또한 정육면체의 개수를 살펴보면, 작아지는 정육면체의 개수가 20배씩 증가함을 알 수 있다. 이렇게 극한값을 계산하면, 무한번 단계를 반복할 때, 멩거스펀지의 부피는 0이다.

 

두번째 겉넓이 구하기

c_n을 n단계 정사각형의 개수라 가정하자. 이 때, c_n을 차례대로 계산하면, 다음과 같은 점화식을 얻을 수 있다.

이 점화식의 일반항을 구하고, 극한값을 계산한다면 멩거스펀지의 겉넓이를 구할 수 있다. 구체적인 계산 과정은 아래 영상에 잘 소개되어 있다.

 

<멩거스펀지 겉넓이 공식 영상>

https://www.youtube.com/watch?v=b9X3pZnI_js

멩거스펀지 겉넓이 계산 영상

계산과정을 거치면 멩거스펀지의 겉넓이는 다음과 같다.

멩거스펀지 겉넓이 극한값 구하기

따라서 멩거스펀지의 부피 극한값은 0, 겉넓이는 무한대임을 알 수 있다.

 

멩거스펀지 겉넓이, 부피의 극한값

멩거스펀지 겉넓이, 부피

겉넓이 일반항을 유도하는 방법은 2가지가 있고, 유도방법이 복잡하다. 하지만 고등수학을 정확하게 배운 학생이라면 누구나 겉넓이를 유도할 수 있다.