소수의 규칙성에 관한 연구 리만가설 알아보기

리만가설이란 무엇을 연구하는 것인가?

세계 7대 난제 중 하나인 리만가설은 소수의 규칙성에 관한 연구이다.

마이클 아티야

영국의 수학자 마이클 아티야는 2018년 9월 14일에 독일 하이델베르크 수상자 모임에서 45분동안의 강연을 하며 리만가설의 증명에 도전한다. 하지만, 리만가설 증명의 검증 결과만 2년 넘게 걸리고, 그 증명 역시 학계에서 판단하기에 부정적인 시선이 많다고 알려져 있다.

존 내시

리만가설은 다른 난제들보다 악명이 높다고 알려져 있는데, 그 이유는 바로 노벨경제학상, 아벨상을 수상한 경력과 게임이론의 균형 개념인 내시 균형이라는 이론을 정립한 천재 수학자 존 내시(1928 ~ 2015) 가 리만 가설의 증명에 도전했었는데, 리만 가설과 관련된 강의를 하던 도중 정신 이상증세를 보이기 시작하며 강연이 취소되기에 이른다. 또한 존 내시는 조현병 병(정신 이상 증세) 증세를 보이기도 했다. 사람들은 이러한 모습을 보며 리만가설에 도전하는 것이 신의 영역에 도전한다는 생각과 함께 막연한 두려움을 가지게 되었다.

 

이러한 증상이 리만 가설인지는 알 수 없다. 하지만 이 사건으로 인해 수학계는 충격에 빠지게 되었으며, 리만가설이 악명높게 된 이유가 되었다.

 

소수의 연구가 리만가설의 시작이 된다

수학계에서는 소수가 항상 신비로운 연구의 대상이 되었다.

규칙성이 없는 소수

소수(Prime)란?

약수가 1과 자기자신만 해당하는 자연수를 의미하는데, 약수가 1과 자신 뿐인 자연수이므로 '소수 원자'라고 불리기도 한다. 따라서 역대 수학자들은 이 소수의 규칙성이 있을까에 대한 끊임없는 의문을 가지고 있었다. 또한 모든 시대에 걸쳐 연구의 대상이 되었다.

 

바젤문제의 등장

스위스의 수학자, 물리학자이자 천재로 알려진 오일러(1707~1783)는 소수에 규칙성이 존재한다는 가정을 세우고 연구하는 도중 다음의 식을 찾아낸다.

바젤문제

소수만으로 단순히 계산했을 뿐인데, 결과값이 원주율(pi) 가 나왔다.

아무런 규칙이 없다고 생각했던 소수가 원주율(pi) 라는 의미있는 숫자로 나온다면 우리가 알지 못하는 어떤 규칙이 있지 않을까 생각한 것이다.

 

리만의 등장과 리만제타함수

리만

이 연구가 계속 후대로 이어지며 독일의 수학자인 리만(1826~1866)이 등장하였고, 그는 오일러가 구한 식에서 제곱을 x로 바꾸었다. 이 식이 그 유명한 리만제타함수이다.

리만제타함수

리만은 그래프의 높이가 1이 되는 지점을 제로점이라 명명하였고, 이 제로점의 위치를 그래프상에서 찾아보았는데 리만이 임의로 잡은 4개의 제로점 모두 정확하게 일직선상에 위치하는 것을 확인했다.

제로점

리만은 이러한 결과를 근거로 하여 나머지 제로점들 역시 모두 일직선 상에 있지 않을까 추측한다. 이것이 바로 리만가설이다.

 

지금까지 밝혀진 것은 일직선위의 제로점이 무한개 존재한다는 것이다. 하지만, 모든 점이 일직선상에 있는지는 아직 알 수 없다. 즉, 직선위에 있지않은 제로점이 생길 수 있는 것이다. 만약에 직선 위에 있지 않는 제로점이 하나만 생겨도 규칙성이 깨지는 것이므로 이 가설은 의미가 없는것이 될 수 있다.

 

리만가설이 중요한 이유

소수로 만들어진 리만제타함수의 배열이 어떠한 의미를 가진다는 것은 결국에는 소수에 규칙성이 존재할 수 있다는 것을 의미한다. 아직 증명이 되지 않았지만, 만약 증명이 된다면 소수의 신비가 밝혀지게 될지도 모른다. 또한 우리가 존재하는 세상이 어떠한 규칙과 의미를 가진채 창조, 구성되었다는 것이다. 리만가설의 증명이 이 세상의 존재와 창조의 원리, 그 이유를 찾아가는 인간의 한걸음을 내딛게 된다.