산술평균, 기하평균, 조화평균 알아보기

 자료 전체의 특징을 나타내는 값을 대푯값이라 한다. 대푯값은 자료의 중심적인 값으로 나타내고 그중에 평균이 가장 많이 쓰인다. 평균은 평평하고 고르다는 뜻으로 고르지 못한 값들을 자료의 중심적인 값으로 평평하고 고르게 펴는 것이다. 가장 고르게 펴는 방법은 무엇일까? 자료의 종류에 따라 고르게 펴는 방법이 달라질 것이다. 평균의 종류에는 산술평균, 기하평균, 조화평균이 있다.

 

1. 산술평균

산술평균(Arithmetic mean)이란 계산의 평균으로

 

주어진 자료가 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $\cdots $, $x_n$일 때,

$\frac{x_1+x_2+x_3+ \cdots + x_n}{n}$이라고 정의한다.

 

만약, 주어진 자료가 $10$, $20$, $40$, $50$일 때, 산술평균은

$\frac{10+20+40+50}{4}=30$이다.

 

2. 기하평균

기하평균(Geometric mean)이란 도형의 길이의 평균으로

주어진 자표가 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $\cdots$, $x_n$일 때

$\sqrt[n]{x_1x_2x_3 \cdots x_n}$이라고 정의한다.

같은 넓이의 사각형

주어진 자료가 $10$, $20$일 때 넓이가 같은 도형의 가로가 세로가 균등한 값이다.

같은 부피의 직육면체

주어진 자료가 $10$, $20$, $30$일 때 부피가 같은 도형의 가로와 세로, 높이가 균등한 값이다.

 

3. 조화평균

조화평균(Harmonic mean)이란 역수의 산술평균의 역수로

주어진 자료가 $x_1$, $x_2$, $x_3$, $\cdots$, $x_n$일때

$\frac{1}{\frac{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+ \cdots + \frac{1}{x_n}}{n}}$이라고 정의한다.

 

이 조화평균은 어디에서 왔을까?

현의 길이가 1일 때의 음을 1도라고 한다면, 현의 길이가 $\frac{1}{2}$일때의 음은 8도이다.

1과 $\frac{1}{2}$의 조화평균을 구해보면, $\frac{1}{\frac{1+2}{2}} = \frac{2}{3}$이다.

한 옥타브 사이의 평균적인 음

현의길이가 $\frac{2}{3}$일 때, 음은 5도이다.

 

도와 솔은 가장 잘 어울리는 음이라 조화평균이라고 피타고라스가 이름을 붙였다고 한다. 또한 도와 도의 한 옥타브 사이의 평균적인 음이 솔이다.

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