확률 공식 정리(확률공식 모음)

1. 순열

(1)  $_n P_n = n!$

(2)  $_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

(3)  $0! = 1$

(4)  $_n P_0 = 1$

 

2. 중복순열

서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 순열

$_n\prod _n =n^r$

 

3. 같은 것이 있는 순열

$n$개에서 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, $\cdots$, $r$개가 있을 때 $p$개를 모두 택하여 일렬로 나열하는 순열의 수

 

$\frac{n!}{p! \times q! \times \cdots r!}$

 

4. 원순열

서로 다른 $n$개를 원형으로 나열하는 순열의 경우의 수

 

$(n-1)!$

 

5. 조합

(1)  $_n C_r = \frac{_n P_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

(2)  $_n C_r = _n C_{n-r}$

(3)  $_n C_0 = 1$

 

6. 중복조합

서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 조합

 

$_n H_r = _{n+r-1}C_r$

 

7. 이항계수의 성질

(1)  $_n C_0 +   _n C _1 + _n C_2 + \cdots + _n C_n = 2^n$

(2)  $_n C_0 - _n C _1 + _n C_2 - \cdots + (-1)^n \ _n C_n =0$

(3)  $_n C_0 + _n C _2 +_n C_4 + \cdots = 2^{n-1}$

(4)  $_n C_1 + _n C _3 + _n C_5 + \cdots = 2^{n-1}$

(5)  $_n C_1 + 2 _n C _2 + 3 _n C_3 + \cdots +n _n C_n=n2^{n-1}$

(6)  $_n C_1 - 2 _n C _2 + 3 _n C_3 - \cdots +(-1)^{n-1}n _n C_n=0$

 

8. 수학적 확률

어떤 시행에서 표본공간 $S$에 대하여 각 근원사건이 일어날 가능성이 같다고 가정하면 사건 $A$가 일어날 확률을 $P(A)$라 할 때,

 

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$

 

9. 통계적 확률

일정한 조건에서 같은 시행을 $n$번 반복할 때, 사건 $A$가 일어난 횟수를 $p$라고 하자. 이때 통계적 확률 $P(A)$는

 

$P(A) = \frac{p}{n}$

 

10. 여사건의 확률

사건 $A$의 확률을 $P(A)$라 하면, $P(A^c) = 1-P(A)$

 

11. 확률의 덧셈정리

두 사건 $A$, $B$에 대하여

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) -P(A \cap B)$

 

만약 두 사건 $A$, $B$가 배반사건이라면 (즉, $A \cap B = \emptyset$ )

$P(A \cup B ) = P(A) +P(B)$

 

12. 조건부확률

 

$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

 

13. 독립사건, 종속사건

두 사건 $A$, $B$에 대하여 $A$와 관계없이 사건 $B$가 일어날 확률이 달라지지 않을 때,

$P(B|A) = P(B | A^c) = P(B)$

이때 사건 $A$와 사건 $B$는 서로 독립이라 한다.

 

만약 두 사건 $A$, $B$가 서로 독립이 아니면

$P(B|A) \neq P(B|A^c)$

이때 사건 $A$와 사건 $B$는 서로 종속이라 한다.

 

14. 독립사건의 곱셈 정리

두 사건 $A$, $B$에 대하여 $P(A)>0$, $P(B)>0$일때

 

사건 $A$, $B$가 서로 독립 $\Leftrightarrow$  $P(A \cap B) = P(A) P(B)$

 

15. 독립시행의 확률

어떤 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률을 $p$라 하고, 일어나지 않을 확률을 $q(=1-p)$라고 할때, 이 시행을 독립적으로 $n$회 반복하는 시행에서 사건 $A$가 $r$회 일어날 확률 $P(A)$는

 

$P_r (A) = _n C_r p^r q^{n-r}$ (단, $p+q =1$, $r = 0,1,2, \cdots , n$ )