삼각형의 내심, 외심 알아보기

삼각형의 중심을 나타내는 방법 중 내심, 외심에 대해 알아보자.

 

1. 삼각형의 내심

삼각형의 내심, 내접원

삼각형의 내심이란? 삼각형의 내접원의 중심을 말한다. 삼각형의 내접원은 삼각형이 안에서 내접하는 원을 말한다. 삼각형의 내심은 삼각형의 꼭짓점의 각의 이등분선의 교점으로 작도할 수 있다. 삼각형의 내접원은 내심에서 각 변에 수선을 내려 그릴 수 있다. 삼각형의 내심은 보통 기호로 $\rm R$라고 나타낸다.

 

삼각형의 내심, 내접원의 성질

(1) 내심에서 각 변에 내린 수선의 길이는 내접원의 반지름이다.

내접원의 반지름

(2) 세 내각의 이등분선에 의해 생긴 삼각형들은 각각 합동이다.

삼각형의 합동

같은 색깔의 삼각형끼리 합동(RSA합동 - 직각, 원의 반지름 길이, 공통각)

 

(3) 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times$ (세변 길이의 합) $\times$ (내접원의 반지름 길이)

삼각형의 넓이

각 삼각형의 넓이의 합 $= \frac{1}{2} \times a \times r + \frac{1}{2} \times b \times r + \times c \times r$

$=\frac{1}{2} \times (a+b+c) \times r$

 

(4) 한 꼭짓점에서 내접원까지 그은 선분의 길이가 같다.

선분의 길이는 같다

---

2. 삼각형의 외심

삼각형의 외심, 외접원

삼각형의 외심이란 삼각형의 외접원의 중심을 말한다. 삼각형의 외심은 삼각형의 각 변의 수직 이등분선의 교점이다. 삼각형의 외접원은 외심과 삼각형의 꼭짓점을 반지름으로 하는 원이고, 삼각형의 외심은 보통 기호로 $\rm O$라고 나타낸다.

 

삼각형의 외심, 외접원의 성질

(1) 외심의 위치

삼각형 외심의 위치

예각삼각형은 삼각형의 내부, 직각삼각형은 빗변의 중심, 둔각 삼각형은 삼각형의 외부에 위치한다.

 

(2) 중심각의 크기는 원주각 크기의 두배이다.

중심각, 원주각

이때 현의 길이가 같으면, 원주각의 크기는 모두 같다.

 

(3) 외심에서 삼각형의 각 변에 수선을 내리면 그 선분은 변을 이등분한다.

외심에서 수선을 내린다.

삼각형 A, B는 합동 (RHS합동 - 직각, 원의 반지름 길이, 변)