이차곡선 공식 정리(이차곡선 공식모음)

이차곡선이란?

원뿔곡선

$Ax^2 + Bxy +Cy^2 +Dx +Ey +F =0$ 형태로 표현되는 방정식

(단, $A$, $B$, $C$가 모두 $0$인 경우를 제외)

 

1. 원의 방정식

반지름 : $r$, 중심 $(0,0)$인 원의 방정식

 

$x^2 + y^2 =r^2$

 

2. 원의 접선의 방정식

(1) 원 $x^2 +y^2 =r^2$위의 점 $(x_1 , y_1 )$에서의 접선의 방정식

$x_1x + y_1y =r^2$

 

(2) 원 $(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2$위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식

$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) =r^2$

 

(3) 원 $x^2 + y^2 =r^2$에 접하고 기울기가 $m$인 직선의 방정식

$y=mx \pm r \sqrt{m^2+1}$

 

3. 포물선의 방정식

초점 : $(p,0)$, 준선 $x=-p$인 포물선의 방정식

$y^2 = 4px$ ($p \neq 0$)

 

4. 포물선의 법선의 방정식

(1) 포물선 $y^2 = 4px$위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식

$y_1y = 2p(x+x_1)$

 

(2) 포물선 $y^2 = 4px$에 접하고 기울기가 $m$인 직선의 방정식

$y = mx + \frac{p}{m}$

 

5. 타원의 방정식

점 $F(k,0)$, $F'(-k,0)$으로부터 거리의 합이 $2a$인 타원의 방정식 ($a>k>0$, $k^2 = a^2 -b^2$ )

 

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

 

6. 타원의 성질

타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 에서 ($a>k>0$ , $k^2 = a^2 - b^2$)

(1) 중심 : $(0,0)$

(2) 초점 : $(k,0)$, $(-k,0)$

(3) 장축의 길이 : $2a$

(4) 단축의 길이 : $2b$

 

7. 타원의 접선의 방정식

(1) 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식

 

$\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$

 

(2) 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$에 접하고 기울기가 $m$인 직선의 방정식

 

$y=mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$

 

8. 쌍곡선의 방정식

점 $F(k,0)$, $F'(-k,0)$으로부터 거리의 차가 $2a$인 쌍곡선의 방정식 ($k>a>0$, $k^2 = a^2 + b^2$)

 

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

 

9. 쌍곡선의 성질

쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$에서 ($a>0$, $b>0$, $k^2 = a^2 + b^2$)

 

(1) 초점 : $(k,0)$, $(-k,0)$

(2) 주축의 길이 : $2a$

(3) 점근선의 방정식 : $y= \pm \frac{b}{a}x$

 

10. 쌍곡선의 접선의 방정식

(1) 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식

$\frac{x_1x}{a^2} - \frac{y_1y}{b^2} = 1$

 

(2) 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $에 접하고 기울기가 $m$인 직선의 방정식

$y=mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$

 

11. 매개변수로 나타낸 원, 타원, 쌍곡선의 방정식

(1) 원 : $x^2+y^2 = 1$ $\Leftrightarrow$ $x=r \cos \theta $, $y= r \sin \theta$

(2) 타원 : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1$ $\Leftrightarrow$ $x=a \cos \theta$, $y= b \sin \theta$

(3) 쌍곡선 : $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $\Leftrightarrow$ $x=a \sec \theta$

, $y=b \tan \theta$