메르센 소수, 페르마 소수 알아보기

소수 중 특별한 형태를 가진 수인 메르센 소수, 페르마 소수를 알아보자.

 

메르센 소수

$M_n = 2^n - 1$ ($n \geq 1$) 형태의 수 중에서 $M_n$ 이 소수이면, 메르센 소수이다.

메르센(Marin Merssenne')

 

메르센은 프랑스의 수학자이자 수도승으로 $2^n -1$ 꼴의 소수에 대한 연구를 진행했다.

 

$n=2$ 일 때, $2^2 - 1=3$ (소수)

$n=3$ 일 때, $2^3 - 1=7$ (소수)

$n=4$ 일 때, $2^5 -1 =31$ (소수)

$n=7$ 일 때, $2^7 - 1 = 127$

 

그러나 소수 $n=11$일 때, $2^{11} = 2047 $는 합성수이므로

$p$가 소수라도 메르센 수 $M_p$는 소수가 아니다.

 

하지만, 반대로 메르센 수 $M_p$가 소수라면, $p$가 소수이다.

 

메르센 소수 공동 프로젝트(GIMPS) - 메르센 소수 찾기 프로젝트

지금까지 발견한 가장 큰 메르센소수는 50번째 $2^82589933$ (24,862,048자리) 이고,

2017년 12월 26일 미국의 51세 전기공학자 조나단이 발견했다.

더 큰 메르센 소수를 발견하기 위해 지금도 연구가 계속되고 있다.

일리노이 대학 우체국 소인

(일리노이 대학에서 메르센 소수를 발견했는데, 이 사실을 기념하기 위해 우체국 소인을 바꾸었다고 한다.)

 

페르마 소수

$F_n = 2^{2^n}+1$ ($n \geq 0$) 형태의 소수

 

페르마(Pierre de Fermat)

페르마(Pierre de Fermat)는 프랑스의 수학자로 근대 정수 이론 및 확률론을 창시했으며, 17세기 최고의 수학자로 불린다.

현재까지 알려진 페르마 소수는 5개뿐이다. ($n = 0, 1, 2, 3, 4$)

 

페르마는 0보다 큰 모든 정수 $n$에 대해서 페르마 수가 소수일 것이라 생각하였으나

오일러가 $n=5$일때 $F_5 = 2^{2^5} = 4294967297 = 641 \times 6700417$ 임을 발견한다.

 

따라서 페르마의 가정은 틀렸지만, 지금은 어떤 것이 소수인지에 대한 연구와 무한한것인지에 대한 문제를 연구중이다.