몬티홀 문제를 쉽게 이해하는 법 4가지

몬티홀 문제란 무엇인가?

몬티홀 문제는 퀴즈쇼의 진행자가 참가자에게 다음 경우의 선택을 어떻게 할 것인가 묻는다.

▶ 세개의 문이 있다. 세개의 문 뒤에는 각각 상품이 있는데, 한개의 문에는 스포츠카, 나머지 2개의 문에는 염소가 있다. 참여자는 처음 문을 한개 고른다. 다음 순서로 문 뒤에 무슨 상품이 있는지 알고 있는 진행자가 나머지 2개의 문 중에서 하나의 염소가 있는 문을 열어준다. 이 순간 참여자는 선택한 문을 바꿀 수 있는 기회를 받게 되는데... 이 경우 참여자는 처음 자신의 선택을 바꿔야 할지 묻는 문제이다.

몬티홀 문제

확률은

▶ 바꾸지 않을 때, 스포츠카를 선택할 확률 : 1/3 (3분의 1)

▶ 바꿨을 때, 스포츠카를 선택할 확률 : 2/3 (3분의 2)

 

바꾸게 되면 스포츠카 당첨확률이 2배로 올라가지만, 사람들은 무의식중에 자신이 선택을 바꿨을 때의 손해가 더 크게 다가오기 때문에 많은 사람들이 선택을 바꾸지 않는다고 알려져있다.

 

이 몬티홀 문제를 쉽게 이해할 수 있는 방법 4가지에 대해 살펴보자.

 

첫번째 방법 : 직접 해보기 (ex 300회 실시)

직접 선택을 바꾸기, 바꾸지 않기를 반복하며 실험해보는 것이다. 대략적으로 300번의 실험을 거친다면 통계적 확률을 통해 당첨확률을 1/3, 2/3라고 확인할 수 있다.

 

총 300번의 실험을 실시할 때

▶ 바꿀 때 : 195회, 안바꿀 때 : 105회 ☞ 바꿀 때 확률 : 65%, 안바꿀때 확률 : 35%

▶ 바꿀 때 : 188회, 안바꿀 때 : 112회 ☞ 바꿀 때 확률 : 62.6%, 안바꿀 때 확률 : 36.4%

▶ 바꿀 때 : 212회, 안바꿀 때 : 88회 ☞ 바꿀 때 확률 : 70.6%, 안바꿀 때 확률 : 29.4%

▶ 바꿀 때 : 205회, 안바꿀 때 : 95회 ☞ 바꿀 때 확률 : 68.3%, 안바꿀 때 확률 : 31.6%

 

시행을 계속 반복한다면, 대략 2/3, 1/3 확률을 만족한다.

 

두번째 방법 : 문 개수를 10개로 늘려서 생각해보기

이제 염소가 9개인 문과 스포츠카 1개인 문으로 나누어서 생각해보자.

문10개

처음 참여자가 문을 하나 선택하면, 나머지 8개의 염소가 있는 문을 열어준다. 참여자는 처음 선택을 바꿔야할까?

당연히 바꿔야 할것이다. 왜냐하면, 처음 내가 정확히 스포츠카를 선택할 확률은 1/10밖에 안되기 때문이다. 다른 염소 문들을 열어준다면 당연하게 바꾸면 당첨확률이 9/10 이 될 것이기 때문이다.

문1000개

그래도 이해가 힘들다면, 1000개의 문 중에 선택한다고 생각하자. 내가 1000개중 한번에 스포츠카가 있는 문을 선택할 수 있을까 생각해보자.

 

세번째 방법 : 처음 확률을 생각하기

확률 계산하기

처음 선택할 때, 1/3 이다. 나머지 여사건의 확률을 생각하다면, 전체확률이 1이므로 1-(1/3)=2/3 이다.

 

네번째 방법 : 직접 경우의 수를 나누어서 생각하기

경우의 수를 나누어 하나씩 생각해보는 방법이다. 바꾸는 경우의 3가지, 바꾸지 않는 경우의 3가지 경우를 각각 생각하면, 당첨확률을 정확하게 알 수 있다.

경우의 수

당첨될 수학적 확률 = (당첨되는 경우의 수) / (전체 경우의 수)