3대 작도 불가능 문제는 무엇인가

작도란, 눈금 없는 자, 컴퍼스를 이용해서 그림을 그리는 것을 말한다. 고대 그리스인들이 생각했었던 가장 완벽한 도형은 직선과 원이었으며, 따라서 고대 그리스인들은 작도를 신성시했다고 알려져 있다. 또한 작도는 도시계획, 건축물 설계, 도시 측량 등에 꼭 필요한 작업이었기 때문에 작도에 대한 연구가 활발하게 진행되었다.

 

작도를 연구하던 중 사람들이 끝내 작도하지 못했던 3가지 문제, "3대 작도 불가능 문제" 에 대해 살펴보자.

 

작도로 표현할 수 있는 것 5가지

첫번째 : 두 점을 잇는 직선 긋기

두번째 : 평행하지 않는 두 직선이 만나는 점 찍기

세번째 : 한 점을 중심으로 하고 다른 점을 지나는 원 그리기

네번째 : 원과 직선이 만나는 점 찍기

다섯번째 : 두 원의 교점 찍기

 

이렇게 작도를 하면서 사람들은 아래 3문제는 도저히 작도할 수 없다는 것을 다양한 시도를 통해 알게 되었다.

 

3대 작도가능한 문제는 무엇인가?

첫번째 문제 : 정육면체 2배 부피인 정육면체를 작도할 수 있는가?

정육면체의 부피가 2배가 되도록 하는 정육면체를 자와 컴퍼스를 이용해서 작도할 수 있는지에 대한 문제이다. 

 

두번째 문제 : 임의의 어떤 각을 3등분하여 작도할 수 있는가?

아무 각이나 3등분각을 자, 컴퍼스로 작도할 수 있는지에 대한 문제이다.

 

세번째 문제 : 특정한 원과 넓이가 똑같은 정사각형을 작도할 수 있는가?

아무 원이나 그 원과 같은 넓이의 정사각형을 자, 컴퍼스로 작도할 수 있는지에 대한 문제이다.

 

어떤 문제가 작도가능한지 알 수 있는 방법은 무엇인가?

작도를 자와 컴퍼스를 이용해서 작도하는 것이기 때문에, 직선과 길이를 옮길 수 있는 것을 의미한다. 이를 대수적으로 해석하여 작도를 단순화해서 작업하기 위한 "작도 가능한 수"라는 개념을 도입한다. "작도 가능한 수"를 이용하면 작도를 대수 방정식의 문제로 바꿔서 생각해 볼 수 있다.

 

작도 가능한 수란 무엇인가?

작도 가능한 수는 눈금이 없는 자, 컴퍼스를 이용해서 작도할 수 있는 모든 수를 의미한다.

자, 컴퍼스로 작도하기 때문에 작도가능한 수의 합과 차는 작도가능한 수이다. 또한 작도 가능한 수의 곱, 몫 역시 작도가능한 수가 된다. 또한 피타고라스 정리를 이용하면, 루트2,3,4,5,... 역시 작도가능한 수가 된다.

사칙연산 작도

루트작도

따라서 작도가능한 수의 의미는 유리수에 사칙연산이나 제곱근을 유한번 시행해 얻는 수 전체를 말한다.

 

이제 작도가능한 수를 이용해서 3대작도불가능 문제를 알아보자.

 

3대 작도불가능 문제 분석하기

첫번째 문제 : 정육면체 2배 부피인 정육면체를 작도할 수 있는가?

이 문제를 간단히 정리하면, x를 이용하여 세제곱근 루트2x를 작도할 수 있는지 묻는 문제와 정확히 같다.

정육면체 부피2배

두번째 문제 : 임의의 어떤 각을 3등분하여 작도할 수 있는가?

이 문제는 cos3x가 주어져 있을 때, cosx를 대수식을 이용해 구할 수 있는지 묻는 문제와 같다. 이는 기약이라는 개념을 알고 있어야 한다. 인수분해라고 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

3등분각

 

세번째 문제 : 특정한 원과 넓이가 똑같은 정사각형을 작도할 수 있는가?

이 문제는 원의 반지름 r을 이용하여 루트pi*r 을 작도할 수 있는지 묻는 문제와 같다.

넓이 같은 정사각형

이렇게 작도가 가능한지 묻는 문제는 작도가능수의 개념을 이용하여 방정식의 문제로 바뀔 수 있는 것이다.

 

3대 작도불가능하다는 것은 어떻게 알수 있는가?

첫번째, 두번째 문제가 불가능하다는 것은 1837년 수학자 완첼(Wantzel)에 의해 증명되었다.

▶ 즉, 유리수 또는 유리수 제곱근으로 나타낼 수 없으므로 작도가능수가 아님

▶ 유리수 계수를 갖는 3차방정식 근 작도의 문제

2번 풀이

세번째 문제가 불가능하다는 것은 1882년 수학자 린데만(Lindemann)에 의해 증명되었다.

▶ 즉, 유리수 또는 유리수 제곱근으로 나타낼 수 없으므로 작도가능수가 아님

 

린데만은 [pi가 초월수라는 연구]에서 초월수라는 개념을 활용하여 세번째 문제가 불가능하다는 것을 증명하였다.

※ 초월수란? 유리수 계수인 대수방정식의 해로 구할 수 있는 숫자를 대수적 수라고 한다면, 대수적 수가 아닌 어떤 수를 초월수라고 한다.