뷔퐁의 바늘문제를 이용해 원주율 측정하기

뷔퐁의 바늘문제란 무엇인가?

바늘을 던져서 원주율(pi)의 값을 대략적으로 추정해 볼 수 있는 방법을 뜻한다. 프랑스의 수학자 뷔퐁이 제시한 뷔퐁의 바늘문제를 살펴보자.

뷔퐁(Buffon)(1707.9.7.~1788.4.16.)은 프랑스의 수학자이자 철학자로 프랑스 왕립식물원장으로 근무했다. 여기서 동식물에 대한 연구를 활발히 진행했지만, 이외에도 수학, 생물학, 지질학 등의 다방면에서 재능이 뛰어났던 것으로 알려져있다. 수학을 연구하던 중 뷔퐁의 바늘문제라 불리는 확률 연구하기 시작했다.

뷔퐁

바늘을 던져서 겹치는 개수를 확인하기

같은 간격으로 놓은 평행선들이 존재하고, 여기에 평행선 사이의 길이보다 작은 바늘이 있다고 하자. 이 같은 길이의 바늘을 무작위로 해서 평면상에 던져본다면, 평행선과 겹치는 바늘, 평행선과 겹치지 않는 바늘 총 2가지의 경우로 나뉘게 된다. 이 때, 평행선과 바늘이 겹쳐지게 될 확률이 얼마인지 구해보자.

평행선과 바늘

먼저 바늘을 평행선이 그려진 평면에 무작위로 던져본다. 이 때, 평행선, 바늘이 겹쳐질 확률을 구할 때 수학적인 방법을 이용해 접근해보자.

바늘의 중점과 평행선

겹치는 바늘과 겹치지 않는 바늘을 경우의 수로 나누기 위해 바늘의 중점을 찾고 평행선을 절반으로 나누어본다. 이렇게 두면 바늘의 중점의 위치에 따라 위 또는 아래에 겹치는 것이 결정될 수 있다.

평행선과 중점의 위치

예를 들어 바늘의 중점이 절반 위에 존재하면, 윗 평행선과 겹치는 것이고 바늘의 중점이 절반 아래에 위치한다면 아래 평행선과 겹치는 것이다. 따라서 우리는 절반의 경우만을 생각해도 충분하다.

넓이 계산하기

바늘의 길이를 1이라 한다면, r과 1/2sinx의 크기에 따라 바늘이 겹쳐지는지가 결정된다.

이때 소문자 엘(l) 은 바늘의 길이, 대문자 엘(L)은 평행선 사이의 거리이다.

 r<=ㅣ/2*sinx 라면 바늘과 평행선이 겹쳐지고, r>l/2*sinx 라면 겹치지 않는다.

 

바늘과 겹칠 확률 구하기

x축을 바늘의 각, y축을 바늘의 중심과 평행선 사이의 거리라고 가정한다면, 평행선과 겹칠 확률=(겹치는 바늘의 넓이)/(전체 바늘의 넓이)가 된다. 이 면적을 직사각형의 넓이 공식을 이용해서 구한다면, 평행선과 바늘이 겹치는 확률을 구할 수 있다.

평생선과 겹칠 확률 계산

따라서 바늘이 평행선과 겹칠 확률이 2l/piL 이 된다.

 

원주율 찾아보기

이 확률을 이용한다면, 원주율의 값을 대략적으로나마 찾을 수 있게 된다. 바늘을 직접 던져보면서 원주율의 근사값을 찾아보자.

 

바늘의 길이를 1, 평행선 사이의 거리를 2라고 한다면, 평행선에 겹칠 확률이 1/pi 이다. 예를 들어 바늘을 100개 던져서 30개가 평행선과 겹친다면, pi의 추정값은 3.3333... 임을 알 수 있다.

 

이러한 방식으로 바늘을 던져가며 평행선과 겹친 바늘의 개수를 통해 원주율의 값을 대략적으로 알 수 있다.