픽의 정리 알아보기(pick)

특정한 다각형에서 점의 개수만 세면, 넓이를 구할 수 있는 픽(pick)의 정리에 대해 알아보자.

 

픽의 정리의 성립 조건

꼭짓점이 반드시 격자점 위에 위치하는 다각형, 안쪽, 경계선의 격자점을 셀 수 있을 때, 픽의정리가 성립하고 넓이를 구할 수 있다.

 

픽의 정리란 무엇인가?

픽의 정리

꼭짓점이 격자점에 있는 그림과 같은 다각형들이 존재할 때, 안쪽 부분의 격자점 개수, 경계선 부분의 격자점 개수를 세면, 도형의 넓이를 구할 수 있다. 이 정리는 오스트리아의 수학자 픽(pick) 이 처음 발견하고 정리해서 픽의 정리라 한다.

 

픽의 정리로 넓이 구하기

다음 도형은 안쪽 점 21개, 경계선 점이 6개이므로 도형의 넓이는 S=21+(6/2)-1=23 이다.

다음 도형은 안쪽 점 15개, 경계선 점이 11개이므로 도형의 넓이는 S=15+(11/2)-1=(39/2) 이다.

 

위의 경우들을 종합해볼때 다각형의 모양은 볼록, 오목과 상관없이 성립함을 알 수 있다.

 

픽의 정리 증명하기

기본삼각형

기본삼각형이란?

도형 내부의 격자점의 개수는 0개, 도형의 경계점 위의 격자점의 개수는 3개인 도형이다. 기본삼각형의 특징은 모든 넓이는 항상 1/2 이다.

 

<정리1>

교차하지 않는 격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형에서 도형 내부 격자점 개수를 x, 도형 경계점 위 격자점 개수를 y라 하자. 기본삼각형으로 분할할 때, 생기는 변의 개수를 e라 하면

e=3x+2y-3 이 성립한다.

이는 값을 실제로 증가시켜가며 등식이 성립함을 확인할 수 있고, 귀납법으로 증명할 수 있다.

 

<정리2>

도형 내부 격자점 개수를 x, 도형 경계점 위 격자점 개수를 y, 꼭짓점의 개수를 v라 하면

x+y=v 가 성립한다.

 

<정리3>

평면그래프에서 v: 꼭짓점의 개수, e: 모서리의 개수, f: 면의 개수라 하면,

v-e+f=2 가 성립한다.

 

<정리4>

f는 면의 개수이므로 기본삼각형의 개수는 f-1 이다.

 

정리1~4를 이용하면 다음 식을 통해 픽의 정리를 증명할 수 있다.

픽의 정리 증명식

결국 픽의 정리를 만족하는 다각형들은 아래 그림과 같이 다각형을 모든 기본삼각형으로 바꾸고 기본삼각형의 개수를 세어 1/2를 곱하면, 넓이를 구할 수 있다. 픽의 정리 조건들이 기본삼각형을 만들 수 있는 조건이었던 것이다.

기본삼각형 개수 세기

위 도형은 기본삼각형이 13개이므로, 넓이는 13/2 이다.