미적분은 고등학생들이 꼭 배워야하는 수학 개념이자 대학수학이나 전공 수학에서는 기본으로 여겨지고 있다. 이러한 미분과 적분의 간단한 역사에 대해 알아보자.
역사적으로 보면 적분과 관련된 개념과 생각이 먼저 등장하고, 나중에 미분 개념이 등장한다.
1. 적분의 시작
나눈것을 쌓는다는 의미이다. (쌓을적, 나눌분) 그리스의 수학자이자 물리학자인 아르키메데스(B.C. 287~212) 는 왕관에 은이 섞여있는지 목욕탕에서 알아내고 유레카를 외친 인물로 그는 수학, 물리에 대한 수많은 저서가 있다. 대표적인 저서로는 '포물선의 구적', '원의 측정에 대하여', '구와 원기둥에 대하여', '소용돌이 선에 대하여' 등 많은 연구를 한 인물이다. 아르키메데스는 아르키메데스의 원리와 지레의 원리로 유명하지만
그는 원의 넓이를 어떻게 구할 수 있을까를 고민하던 중, 다음과 같은 생각을 하게 된다.
원의 넓이는 못구하지만 사각형이나 삼각형의 넓이는 구할 수 있으므로, 원의 넓이를 구할 때, 원을 다각형으로 쪼개고, 다각형을 삼각형으로 쪼개서 삼각형의 넓이의 합으로 원의 넓이를 구하고자 했다. 먼저 원을 적당한 다각형으로 쪼개면, 원과 다각형의 넓이의 차는 계속 줄어들게 된다. 그리고 모든 다각형은 삼각형으로 나눌 수 있으므로, 잘게 쪼갠 삼각형의 넓이를 구하고 이것들의 합을 구한다면 원의 넓이를 구할 수 있다는 것이 그의 주장이다.
카발리에리(1598~1647)는 이탈리아의 수학자로 정적분의 개념의 처음으로 도입한 인물이다. 그는 넓이를 구하는 방법으로 구분구적법을 주장했다.
<구분구적법이란?>
어떠한 도형이라도 짧게 자르면, 넓이를 구할 수 있다는 것이다. 짧게 잘린 사각형의 넓이의 합을 구하는 것이 구분구적법이다.
2. 미분의 시작
미세하게 나눈다는 의미이다.(작을 미, 나눌 분) 미분은 17세기에 연구된 학문으로 접선의 기울기를 구하는데 유용하다.
<뉴턴과 라이프니츠>
17세기 미분을 발견한 두 사람이 뉴턴과 라이프니츠이다. 뉴턴은 1666년부터 미적분학을 연구했고, 1687년에 처음 연구결과를 발표했다고 알려져있다. 라이프니츠는 1674년부터 미적분학을 연구하고, 1684년에 처음 발표했다고 알려져있다. 연구의 시작은 뉴턴이 먼저 했다고 알려져있지만, 처음 연구 결과를 발표한 사람은 라이프니츠인 것이다. 서로 자신이 먼저 연구했다고 주장하기 때문에 누가 먼저인지는 아직도 정확하게 모른다.
두사람은 미분에 대한 표기법을 다르게 해서 각자만의 연구를 진행했다.
뉴턴은 속도와 가속도, 접선에 대한 미분을 연구했기 때문에 유율법(Method of Fluxions)라고 부른다. 따라서 시간에 대한 변수만 필요했기 때문에 독립변수가 따로 필요없었다. 미분은 순간적인 변화율, 즉 접선의 기울기이다.
라이프니츠는 함수가 변수의 변화량에 따라 어떻게 변화하는지 연구했기 때문에 변화율의 관점에서 연구를 진행했다. 따라서 다양한 변수에 따른 독립변수가 필요했다.
라이프니츠의 기호는 분수연산을 도입했기 때문에 다변수 함수, 합성함수 미분과 같은 다양한 미분의 응용이 가능했다. 뉴턴의 기호보다 라이프니츠의 기호가 확장성이 훨씬 크기 때문에 현재에는 고등학교 교과서를 제외한 대부분의 미적분 연구 내용에 라이프니츠의 기호가 주로 사용된다.
3. 미분과 적분의 연결
미분과 적분은 사실 독립적으로 연구되던 학문이다. 하지만, 분리되어 연구되던 미분과 적분이 연결되는데, 이것이 미적분학의 기본정리이다.
미적분학의 기본정리 - 미분과 적분의 연산은 서로 역연산이다.
<리만>
이후 리만(1826~1866) 이라는 독일의 수학자가 적분의 다양한 개념을 정립한다. 리만은 복소변수의 함수 이론의 기초이론 을 정립했고, 리만제타함수로 유명하다. 리만은 리만적분가능(닫힌 구간에서 정의된 실수값 함수 적분의 종류), 리만합(적분의 유한합을 근사시키는 방법) 등의 다양한 미적분학의 개념을 발전시켰다.
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