파푸스의 중선정리 알아보기

파푸스의 중선정리

파푸스의 중선정리

$\overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm AC}^2 = 2(\overline{\rm AD}^2 + \overline{\rm BD}^2)$

 

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$\overline{\rm AB}^2 = \overline{\rm AH}^2 + \overline{\rm BH}^2 = \overline{\rm AH}^2 +(\overline{\rm BD}-\overline{\rm HD})^2$ $=\overline{\rm AH}^2 + \overline{\rm BD}^2 +\overline{\rm HD}^2 -2\overline{\rm BD}\cdot\overline{\rm HD}$

 

$\overline{\rm AC}^2 = \overline{\rm AH}^2 +\overline{\rm CH}^2 = \overline{\rm AH}^2 + (\overline{\rm CD} + \overline{\rm HD})^2 = \overline{\rm AH}^2 + \overline{\rm CD}^2 +\overline{\rm HD}^2 +2\overline{\rm CD}\cdot \overline{\rm HD}$

 

따라서

$\overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm AC}^2 = 2\overline{\rm AH}^2 + 2\overline{\rm HD}^2 +\overline{\rm BD}^2 + \overline{\rm CD}^2 $

 

이때 $\overline{\rm AH}^2 + \overline{\rm HD}^2 = \overline{\rm AD}^2$ 이고, $\overline{\rm BD} = \overline{\rm CD}$이므로

 

$\overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm AC}^2 = 2(\overline{\rm AD}^2 + \overline{\rm BD}^2)$