삼각형의 내각의 이등분선 정리

삼각형의 내각의 이등분선 정리

삼각형의 내각의 이등분선 정리

$\bigtriangleup \rm ABC$에서 $\angle \rm A$의 이등분선과 변 $\rm BC$ 와의 교점을 $\rm D$이라 할 때

$\overline{\rm AB}: \overline{\rm AC} = \overline{\rm BD}:\overline{\rm CD}$

 를 만족한다.

 

또한 위 정리의 역도 성립한다.

즉, $\bigtriangleup \rm ABC$에서 변 $\rm BC$위의 한 점 $\rm D$에 대하여

$\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC} = \overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}$가 성립하면, 선분 $\rm AD$는 $\angle \rm BAC$의 이등분선이다.

 

증명하기

($\Rightarrow$) 선분 $\rm AB$의 연장선과, 점 $\rm C$ 를 지나고 선분 $\rm AD$와 평행한 직선의 교점을 $\rm E$라 하자.

 

선분 $\rm AD$와 선분 $\rm CE$가 평행하므로 $\angle \rm BAD = \angle \rm AEC$이다. ($\because$ 동위각)

 

따라서 $\bigtriangleup \rm BAD \sim \bigtriangleup \rm BEC$ 이다.

 

삼각형의 닮음비가 같으므로 $\overline{\rm AB}: \overline{\rm AE} = \overline{\rm BD}:\overline{\rm CD}$ 이다.

 

또한 엇각에 의해 $\angle \rm BAC = \angle \rm ACE$ 가 성립하므로 $\overline{\rm AC} = \overline{\rm AE}$ 이다.

 

따라서 $\overline{\rm AB}: \overline{\rm AC} = \overline{\rm BD}:\overline{\rm CD}$ 이다.

 

역방향 증명

($\Leftarrow$) 선분 $\rm AB$의 연장선과, 점 $\rm C$ 를 지나고 선분 $\rm AD$와 평행한 직선의 교점을 $\rm E$라 하자.

 

$\overline{\rm AB}: \overline{\rm AC} = \overline{\rm BD}:\overline{\rm CD}$ 이고,

 

삼각형의 닮음비가 같으므로 $\overline{\rm AB}: \overline{\rm AE} = \overline{\rm BD}:\overline{\rm CD}$이다.

 

따라서 $\bigtriangleup \rm ACE$는 이등변삼각형이므로 $\angle \rm ACE = \angle \rm AEC$ 이다.

 

또한 $\overline{\rm AD} // \overline{\rm CE}$이므로 엇각에 의해 $\angle \rm ACE = \angle \rm CAD$ 이다.

 

따라서 $\overline{\rm AD}$는 $\angle \rm BAC$의 이등분선이다.