정수의 개념과 정수의 성질

정수의 정의

정수는 자연수에서 확장된 개념이다. 일반적으로 정수는 두 수의 차에 의해 생성된다.

$+2 = 3-1 = 4-2 = 5-3 = 6-4 = 7-5 = \cdots$

$0 =1-1 = 2-2 = 3-3 =4-4 = \cdots$

$-2 =1-3 = 2-4 =3-5 = 4-6 = 5 - 7 = \cdots$

 

이를 집합, 원소를 순서쌍으로 표현하면,

$+2 = \{  (3,1) , (4,2),(5,3),(6,4), \cdots  \}$

$0 = \{ (1,1),(2,2) , (3,3), (4,4) , \cdots   \}$

$-2 = \{ (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7) , \cdots   \}$

 

이다. 따라서 정수의 집합은 자연수의 곱집합으로 나타낼 수 있다.

 

$N \times N = \{ (a,b) | a\in N , b \in N  \}$ 이다.

즉, $(a,b) ~(c,d) \Leftrightarrow  a+d=b+c$ 

 

정수의 성질

정수 집합을 $Z$라 하면, 다음 성질을 모두 만족한다.

 

1. $a,b \in Z$이면, $a+b \in Z$이다. (덧셈에 대해 닫혀있다.)

2. $a,b,c \in Z$이면, $(a+b) +c = a+(b+c) $ (덧셈에 대한 결합법칙)

3. $a,b \in Z$이면, $a+b=b+a$ (덧셈에 대한 교환법칙)

4. 어떤 정수 $0 \in Z$가 존재해서 모든 정수 $a \in Z$에서 $a+0 = 0+a = a$가 성립한다. (덧셈에 대한 항등원)

5. 각각의 $a \in Z$에서 $a+(-a) = (-a) +a =0$인 $-a \in Z$가 존재한다. (덧셈에 대한 역원)

6. $a, b \in Z$이면, $a \times b \in Z$이다. (곱셈에 대해 닫혀있다.)

7. $a,b,c \in Z$이면, $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ (곱셈에 대한 결합법칙)

8. $a,b \in Z$이면, $a \times b = b \times a$ (곱셈에 대한 교환법칙)

9. 어떤 정수 $1 \in Z$가 존재해서 모든 정수 $a \in Z$에서 $a \times 1 = 1 \times a =a$가 성립한다. (곱셈에 대한 항등원)

10. $a,b,c \in Z$에서 $a \times b = a \times c$일 때, $a \neq 0$이면, $b=c$이다.(곱셈에 대한 소거법칙) (또는 곱셈에 대한 역원)

11. $a,b,c \in Z$이면, $a \times (b+c) = (a \times b ) + ( a \times c)$ (분배법칙)

 

또한 자연수 집합 $N$은 정수집합 $Z$의 진부분집합이다. 정수의 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있다. 하지만, 정수는 나눗셈에 대해서 닫혀있지 않다.