이차함수의 꼭짓점과 대칭축 구하는 방법

이차함수는 포물선의 형태를 가지며, 그래프에서 가장 중요한 요소 중 하나는 꼭짓점(vertex)과 대칭축(axis of symmetry)입니다. 이 글에서는 이차함수의 꼭짓점과 대칭축을 구하는 방법을 쉽게 설명하고, 예제와 함께 개념을 확실히 정리하겠습니다.

이차함수란?

이차함수(Quadratic Function)는 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다.
$$y = ax^2 + bx + c$$
여기서,

• $a, b, c$는 상수
• $a \neq 0$ (이차항이 있어야 이차함수)
• 그래프는 포물선(parabola) 형태

이차함수의 그래프에서 가장 중요한 점은 꼭짓점(최대 또는 최소값을 가지는 점)과 대칭축(포물선을 좌우 대칭으로 나누는 선)입니다.

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대칭축 구하는 방법

이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 대칭축은 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.
$$x = \frac{-b}{2a}$$

대칭축 예제

이차함수 $y = 2x^2 - 4x + 1$의 대칭축을 구해봅시다.

• 여기서 $a = 2$, $b = -4$, $c = 1$입니다.
• 대칭축 공식 적용: $x = \frac{-(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1$

따라서, 대칭축은 $x = 1$입니다.

꼭짓점 구하는 방법

꼭짓점의 x좌표는 대칭축의 식과 동일합니다.
즉, 꼭짓점의 x좌표는
$$x = \frac{-b}{2a}$$
꼭짓점의 y좌표는 이 값을 함수식에 대입하여 구합니다.
$$y = a \left(\frac{-b}{2a}\right)^2 + b \left(\frac{-b}{2a}\right) + c$$

꼭짓점 예제

앞서 구한 대칭축이 $x = 1$인 함수 $y = 2x^2 - 4x + 1$에서 꼭짓점을 구해봅시다.

• 대칭축 $x = 1$을 함수에 대입
• $y = 2(1)^2 - 4(1) + 1$
• $y = 2 - 4 + 1 = -1$

따라서, 꼭짓점은 $(1, -1)$입니다.

표준형을 이용한 꼭짓점 구하기

이차함수는 다음과 같은 표준형(완전제곱식 형태)으로 변환할 수 있습니다.
$$y = a(x - h)^2 + k$$
여기서 꼭짓점은 **$(h, k)$**입니다.

표준형 변환 예제

이차함수 $y = x^2 - 6x + 8$을 표준형으로 변환해봅시다.

• 완전제곱식 만들기: $y = (x^2 - 6x) + 8$
• $x^2 - 6x$ 부분을 완전제곱식으로 변형
• $(x - 3)^2 - 9$ (완전제곱식: $(x - \frac{b}{2a})^2$)
• $y = (x - 3)^2 - 9 + 8$
• $y = (x - 3)^2 - 1$

여기서 꼭짓점은 $(3, -1)$입니다.

대칭축과 꼭짓점의 의미

• 대칭축은 포물선을 정확히 절반으로 나누는 선으로, 꼭짓점의 x좌표와 동일합니다.
• 꼭짓점은 포물선의 최고점(최대값) 또는 최저점(최소값)입니다.
• 함수의 계수 $a$가 양수이면 꼭짓점이 최저점(위로 열린 포물선), 음수이면 꼭짓점이 최고점(아래로 열린 포물선)입니다.

결론

이차함수의 꼭짓점과 대칭축을 구하는 방법은 다음과 같습니다.

• 대칭축: $x = \frac{-b}{2a}$
• 꼭짓점: $\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)$
• 표준형 $y = a(x - h)^2 + k$에서 $(h, k)$가 꼭짓점

이차함수의 대칭성과 꼭짓점 개념을 확실히 이해하면 그래프를 쉽게 그릴 수 있으며, 실생활 문제에도 적용할 수 있습니다.

이차함수를 만든 수학자는 누구일까