728x90 분류 전체보기3514 최대 최소 정리 증명하기 최대 최소 정리 f(x)가 [a,b]에서 연속이면, f(x)는 최댓값, 최솟값을 갖는다. 증명하기 f(x) 가 위로 유계가 아니라고 가정하자. 모든 자연수 n 에 대하여 an∈[a,b]이고, f(an)>n 인 수열 {an}을 설정하자. 이때 an은 유계이므로 B-W 정리에 의해 수렴하는 부분수열 {ank} 를 갖는다. 이때, lim (A \in [a,b]) 라 하면 f 가 연속함수이므로 \lim_{k \to \infty}f(a_{n_k})=f(A)를 만족한다. 그러나 $\lim_{n \to \infty}f(a_{n_k})> \lim_{n \to \infty}n_k = \in.. 2022. 11. 4. 단조수렴정리 증명하기 단조수렴정리 수열 \{ a_n \} 이 위로 유계 \Leftrightarrow 수열 \{ a_n \} 이 수렴 증명하기 (\Rightarrow) A= \{ a_n | n \in N \} 라 하자. 집합 A 가 위로 유계이므로 실수집합 R 의 완비성 공리에 의해 상한(최소상계)이 존재한다. 이를 \alpha = \rm supA 라 하자. 임의의 \epsilon >0 에 대하여 어떤 자연수 N이 존재하여 \alpha - \epsilon < a_N \leq \alpha 를 만족한다. (\because \alpha 가 상한이기 때문) (1) 모든 n \in N에서 a_n \leq \alpha - \epsilon 라 하면, $\alpha - \epsilon.. 2022. 11. 4. 볼차노 바이어슈트라스 정리(B-W 정리) 증명하기 볼차노 바이어슈트라스 정리 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다. 증명방법 x_n을 유계 수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 n에 대하여 |x_n| \leq M 을 만족한다. 이 때, [-M,0], [0.M] 중 적어도 하나는 무한개의 항을 포함한다. 무한개 x_n 이 있는 구간을 I_1 이라고 하고, I_1에 속한 x_n 중 가장 작은 것을 x_{n_1} 이라 하자. 다시 I_1을 절반으로 나누고 무한개의 항이 있는 쪽을 I_2라고 하자. I_2 에 속한 x_n 중 가장 작은 것을 x_{n_2} 라 하자. 이 과정을 반복하면, I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots 이고, 구간 I_n의 길.. 2022. 11. 4. 축소구간정리 증명하기 축소구간정리는 완비성공리, 단조수렴정리, 코시수열의 수렴과 동치이다. 축소구간정리의 증명방법을 간단하게 살펴보자. 축소 구간 정리 공집합이 아닌 유계 닫힌구간열 \{ I_n \} 에서 모든 자연수 n에 대하여 I_n \supseteq I_{n+1}이면, \cap _{n=1} ^{\infty}I_n = I_1\cap I_2 \cap I_3 \cap \cdots \neq \emptyset 을 만족한다. 증명방법 닫힌 구간열을 I_n = [a_n,b_n] 이라 하자. 모든 자연수 n 에 대하여 I_n \supseteq I_{n+1} 이므로 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq .. 2022. 11. 4. 이전 1 ··· 867 868 869 870 871 872 873 ··· 879 다음 728x90